Question

17．已知（x${\;}^{lo{g}_{2}x}$+1）ⁿ展開式中有連續(xù)三項之比為1：2：3，且展開式的倒數(shù)第二項為28，則x的值為（　�。�

• A． 2
• B． $\frac{1}{2}$
• C． -2
• D． $\frac{1}{2}$或2

Answer 1

分析 設(shè)x${\;}^{lo{g}_{2}x}$=y，利用二項展開式的通項公式求出（y+1）ⁿ的展開式的通項，得到連續(xù)三項的系數(shù)，根據(jù)已知條件列出方程，求出n的值，再根據(jù)且展開式的倒數(shù)第二項為28，求出y=2，根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)計算即可．

解答 解：設(shè)x${\;}^{lo{g}_{2}x}$=y
因為（y+1）ⁿ的展開式的通項為T_r+1=C_n^ry^n-r根據(jù)題意得到C_n^r：C_n^r+1：C_n^r+2=1：2：3
解得n=14，
∵T₁₃₊₁=C₁₄¹³y^14-13=28，
∴y=2，
∴x${\;}^{lo{g}_{2}x}$=2，
∴（log₂x）²=1，
∴l(xiāng)og₂x=±1，
∴x=2或x=$\frac{1}{2}$，
故選：D．

點評 本題考查利用二項展開式的通項公式解決二項式的有關(guān)系數(shù)問題，屬于中檔題．