Question

設(shè)f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，且當(dāng)-1≤x≤0時(shí)，f（x）=2x³+5ax²+4a²x+b．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）當(dāng)1＜a≤3時(shí)，求函數(shù)f（x）在（0，1]上的最大值g（a）；
（Ⅲ）如果對(duì)滿足1＜a≤3的一切實(shí)數(shù)a，函數(shù)f（x）在（0，1]上恒有f（x）≤0，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由-1≤x≤0得到-x的范圍，因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以得到f（x）=-f（-x），把-x代入f（x）的解析式即可確定出f（x）在0＜x≤1時(shí)的解析式，且得到f（0）=0，；聯(lián)立可得f（x）的分段函數(shù)解析式；
（Ⅱ）當(dāng)x大于0小于等于1時(shí)，求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)等于0時(shí)x的值，利用x的值分大于小于1和大于等于1小于等于2兩種情況考慮導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，利用函數(shù)的增減性分別求出相應(yīng)的最大值g（a），聯(lián)立得到g（a）的分段函數(shù)表達(dá)式；
（Ⅲ）要使函數(shù)f（x）在（0，1]上恒有f（x）≤0，必須f（x）在（0，1]上的最大值g（a）≤0．也即是對(duì)滿足1＜a≤3的實(shí)數(shù)a，g（a）的最大值要小于或等于0．由（Ⅱ）求出g（a）的解析式，分a大于1小于和a大于等于小于等于3兩種情況考慮g（a）的解析式，分別求出相應(yīng)g（a）的導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷g（a）的單調(diào)性，根據(jù)g（a）的增減性得到g（a）的最大值，利用g（a）的最大值列出關(guān)于b的不等式，求出兩不等式的公共解集即可滿足題意的b的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）當(dāng)0＜x≤1時(shí)，-1≤-x＜0，則
f（x）=-f（-x）=2x³-5ax²+4a²x-b．
當(dāng)x=0時(shí)，f（0）=-f（-0）∴f（0）=0；
∴f（x）=；
（Ⅱ）當(dāng)0＜x≤1時(shí)，f′（x）=6x²-10ax+4a²=2（3x-2a）（x-a）=6（x-）（x-a）．
①當(dāng)＜＜1，即1＜a＜時(shí)，
當(dāng)x∈（0，）時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)x∈（，1]時(shí)，f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，）單調(diào)遞增，在（，1]上單調(diào)遞減，
∴g（a）=f（）=a³-b．
②當(dāng)1≤≤2，即≤a≤3時(shí)，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，1]單調(diào)遞增．
∴g（a）=f（1）=4a²-5a+2-b，
∴g（a）=
（Ⅲ）要使函數(shù)f（x）在（0，1]上恒有f（x）≤0，必須f（x）在（0，1]上的最大值g（a）≤0．
也即是對(duì)滿足1＜a≤3的實(shí)數(shù)a，g（a）的最大值要小于或等于0．
①當(dāng)1＜a≤時(shí)，g′（a）=a²＞0，此時(shí)g（a）在（1，）上是增函數(shù)，
則g（a）＜-b=-b．∴-b≤0，解得b≥；
②當(dāng)≤a≤3時(shí)，g′（a）=8a-5＞0，此時(shí)，g（a）在[，3]上是增函數(shù)，g（a）的最大值是g（3）=23-b．
∴23-b≤0，解得b≥23．
由①、②得實(shí)數(shù)b的取值范圍是b≥23．
點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，靈活運(yùn)用函數(shù)的奇偶性解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，是一道綜合題．