Question

如圖，已知一個(gè)正四面體和一個(gè)正八面體的棱長(zhǎng)相等，如果它們的面是全等的三角形，把它們拼起來(lái)，使一個(gè)表面重合，所得的多面體有多少個(gè)面?

 

Answer 1

答案：
解析：

分析  正四面體和正八面體的一個(gè)表面重合，那么就要討論正四面體的其他三個(gè)面與正八面體的其他面有何關(guān)系，為此我們要來(lái)求一下正四面體與正八面體相鄰的兩個(gè)面所成二面角的大小．為此，只要分別求出正八面體相鄰兩個(gè)側(cè)面所成二面角大小和正四面體相鄰兩個(gè)側(cè)面所成二面角大小就可以了． 解  正八面體ABCDEF中，BE中點(diǎn)為G，AF平面BCDE＝O，連接AG、FG、OG． 　　∵  AF⊥平面BCDE， 　　∴  OG是AG、FG在平面BCDE的射影． 　　∵  BE⊥OG 　　∴  ∠AGF是二面角A—BE—F的平面角． 　　Rt△AOG中，OG＝，，． 　　cos∠AGF＝cos2∠AGO＝2∠AGO－1＝． 　　正八面體相鄰側(cè)面所成二面角為p －arccos，正四面體P—QRS中，T是PS中點(diǎn)． 　　∠QTR是二面角Q－PS－R的平面角． 　　△QRT中，QT＝RT＝， 　　cos∠QTR＝ 　　　　　　  　　當(dāng)把PSQ面與BEF面重疊，PS與BE重合，點(diǎn)G與T重合，∠AGF＋∠QTR＝p ，ABE面與RPS面拼成一個(gè)平面．同理，PQS面與DEF面，RPQ面與BCF面都分別拼成一個(gè)平面．因此正八面體與正四面體拼成的一個(gè)多面體是七面體．