Question

如圖,在底面為直角梯形的四棱錐S—ABCD中,∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=2AD.

(1)求證:BC⊥平面SAB.

(2)求平面SCD與平面SAB所成二面角的正弦值.

(3)若E為SC上異于S、C的任意一點,問在SD上是否存在一點F,使AF∥平面BED?試說明理由.

Answer 1

(1)證明:∵SA⊥面ABCD,

∴SA⊥BC.

∵∠ABC=90°,∴AB⊥BC.

故BC⊥平面SAB.

(2)解:延長CD、BA交于點P,連結(jié)SP,

則SP為平面SCD與平面SAB的交線.

由條件計算可得∠BSP=90°,

由(1)BC⊥平面SAB,故SC⊥SP.

∴∠CSB就是平面SCD與平面SAB所成的二面角的平面角.

在Rt△CSB中,sin∠CSB=.

∴平面SCD與平面SAB所成的二面角的正弦值為.

(3)解:在SD上存在點F,使得AF∥平面BED.

連結(jié)AC與BD交于點O,連結(jié)OE,

在△SAC中,過點A作AM∥OE交SC于點M,

在△SDC中過點M作ED的平行線與SD交于F,連結(jié)AF,

則面AMF∥面EBD.

又AF平面AMF,故AF∥平面BED.

∴在SD上存在一點F,使AF∥平面BED.