Question

已知集合A={a，b，c}，其中a，b，c是三個連續(xù)的自然數(shù)．如果a，b，c能夠作為一個三角形的三邊長，且該三角形的最大角是最小角的2倍，求所有滿足條件的集合A．

Answer 1

（本題滿分12分）
解：依題意，不妨設a=n-1，b=n，c=n+1，對應的三個內(nèi)角是α，π-3α，2α
由正弦定理，…（4分）
所以…（6分）
由余弦定理，（n-1）²=（n+1）²+n²-2（n+1）ncosα…（8分）
即化簡，得：n²-5n=0
所以，n=0，或n=5，n=0不合題意，舍去．
n=5，三角形的三邊長為4，5，6．…（10分）
可以驗證此三角形的最大角是最小角的2倍． …（11分）
故：A={4，5，6} …（12分）
分析：先設出三邊長以及三個角的度數(shù)，結合正弦定理以及余弦定理求出關于邊長的等式，即可求出結論．
點評：本題主要考察正弦定理在解三角形中的應用問題．解決本題的關鍵在于根據(jù)條件得到化簡，得：n²-5n=0，進而求出結論．