Question

在平面上，

AB1

⊥

AB2

，|

OB1

|=|

OB2

|=1，

AP

=

AB1

+

AB2

，若|

OP

|＜

1

2

，則|

OA

|的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：根據(jù)

AB1

⊥

AB2

，|

OB1

|=|

OB2

|=1，

AP

=

AB1

+

AB2

，可知：四邊形AB₁PB₂是一個(gè)矩形．以AB₁，AB₂所在直線為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系．設(shè)|AB₁|=a，|AB₂|=b．點(diǎn)O的坐標(biāo)為（x，y），點(diǎn)P（a，b）．根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算、模的計(jì)算公式、不等式的性質(zhì)即可得出．

解答： 解：根據(jù)

AB1

⊥

AB2

，

AP

=

AB1

+

AB2

，可知：四邊形AB₁PB₂是一個(gè)矩形．
以AB₁，AB₂所在直線為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系．設(shè)|AB₁|=a，|AB₂|=b．
點(diǎn)O的坐標(biāo)為（x，y），點(diǎn)P（a，b）．
∵|

OB1

|=|

OB2

|=1，
∴

(x-a)2+y2=1 x2+(y-b)2=1

，
變形為

(x-a)2=1-y2 (y-b)2=1-x2

．
∵|

OP

|＜

1

2

，∴（x-a）²+（y-b）²＜

1

4

，
∴1-x²+1-y²

1

4

，
∴x²+y²＞

7

4

．①
∵（x-a）²+y²=1，∴y²≤1．
同理，x²≤1．
∴x²+y²≤2．②
由①②可知：

7

4

＜x²+y²≤2．
∵|

OA

|=

x2+y2

，
∴

7

2

＜|

OA|

≤

2

．
故答案為（

7

2

，

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量的平行四邊形法則、矩形的定義、向量的坐標(biāo)運(yùn)算、模的計(jì)算公式、不等式的性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．