Question

某地產(chǎn)開(kāi)發(fā)公司擬在如圖所示夾角為60°的角形區(qū)域BAC內(nèi)進(jìn)行地產(chǎn)開(kāi)發(fā)．根據(jù)市政要求，此地產(chǎn)開(kāi)發(fā)必須在角形區(qū)域的兩邊之間建一條定長(zhǎng)為500m的綠化帶PQ，并且規(guī)定由此綠化帶和角形區(qū)域圍成的△APQ的面積作為此開(kāi)發(fā)商的開(kāi)發(fā)面積．問(wèn)開(kāi)發(fā)商如何給P，Q進(jìn)行選址，才能使自己的開(kāi)發(fā)面積最大？并求最大開(kāi)發(fā)面積．

Answer 1

分析：根據(jù)正弦定理知S△APQ=

1

2

xysin60°，從模型來(lái)看，面積的變化受xy的影響，所以再建立xy最大值模型，由余弦定理可知：500²=x²+y²-2xycos60°≥2xy-2xycos60°=xy，即xy≤500²，所以S△APQ=

1

2

xysin60°≤

1

2

×50

0

2

×

3

2

=62500

3

，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)取等號(hào)．即△APQ的面積最大．

解答：解：∠A=60°，PQ=500，設(shè)AP=x，AQ=y，（2分）
則500²=x²+y²-2xycos60°（6分）
≥2xy-2xycos60°=xy（9分）
∴S△APQ=

1

2

xysin60°≤

1

2

×50

0

2

×

3

2

=62500

3

，
當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)取等號(hào)．
∴當(dāng)AP=AQ=500時(shí)，△APQ的面積最大（13分）
答：當(dāng)P，Q選在距離A點(diǎn)都為500m時(shí)，開(kāi)發(fā)的面積最大，最大面積為62500

3

m²．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角形面積模型的建立及最大值的求法，還涉及了正弦定理，余弦定理和基本不等式的應(yīng)用．