Question

(理)設A、B分別為橢圓=1(a、b＞0)的左、右頂點,橢圓長半軸的長等于焦距,且x=4為它的右準線.

(1)求橢圓的方程;

(2)設P為右準線上不同于點(4,0)的任意一點,若直線AP、BP分別與橢圓相交于異于A、B的點M、N,證明點B在以MN為直徑的圓內(nèi).

(文)已知數(shù)列{a_n}中,a₁=,a_n=2(n≥2,n∈N^*),數(shù)列{b_n}滿足b_n=(n∈N^*).

(1)求證:數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列;

(2)求數(shù)列{a_n}中的最大項與最小項,并說明理由.

Answer 1

答案：(理)解：(1)依題意得a=2c,=4,解得a=2,c=1,從而b=.

故橢圓的方程為=1.

(2)解法一:由(1)得A(-2,0),B(2,0).設M(x₀,y₀),∵M點在橢圓上,∴y₀²=(4-x₀²).①

又點M異于頂點A、B,∴-2＜x₀＜2,由P、A、M三點共線可得P(4,).

從而=(x₀-2,y₀),=(2,).

∴=2x₀-4+(x₀²-4+3y₀²).②

將①代入②,化簡得=(2-x₀).

∵2-x₀＞0,∴＞0,則∠MBP為銳角,從而∠MBN為鈍角,故點B在以MN為直徑的圓內(nèi).

解法二:由(1)得A(-2,0),B(2,0).設M(x₁,y₁),N(x₂,y₂),則-2＜x₁＜2,-2＜x₂＜2,又MN的中點Q的坐標為(),

依題意,計算點B到圓心Q的距離與半徑的差:|BQ|²-|MN|²=(-2)²+()²-［(x₁-x₂)²+(y₁-y₂)²］=(x₁-2)(x₂-2)+y₁y₂,③

又直線AP的方程為y=(x+2),直線BP的方程為y=(x-2),而兩直線AP與BP的交點P在準線x=4上,∴,即y₂=.④

又點M在橢圓上,則=1,即y₁²=(4-x₁²).⑤

于是將④⑤代入③,化簡后可得|BQ|²-|MN|²=(2-x₁)(x₂-2)＜0.

從而,點B在以MN為直徑的圓內(nèi).

(文)(1)證明:b_n=,

而b_n-1=,

∴b_n-b_n-1==1(n∈N^*).

∴{b_n}是首項為b₁==-,公差為1的等差數(shù)列.

(2)解：依題意有a_n-1=,而b_n=-+(n-1)·1=n-3.5,∴a_n-1=.

函數(shù)y=在(3.5,+∞)上為減函數(shù),在(-∞,3.5)上也為減函數(shù).

故當n=4時,a_n=1+取最大值3,n=3時,取最小值-1.