Question

（極坐標(biāo)與參數(shù)方程）
已知直線l經(jīng)過點(diǎn)P（2，1），傾斜角α=

π

4

，
（Ⅰ）寫出直線l的參數(shù)方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l與圓O：ρ=2相交于兩點(diǎn)A，B，求線段AB的長度．

Answer 1

分析：（1）設(shè)直線l上任意一點(diǎn)為Q（x，y），根據(jù)直線的斜率公式與同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系，引入?yún)��?shù)t可得y-1=

2

2

t且x-2=

2

2

t，由此即可得到直線l的參數(shù)方程；
（2）將圓O化為直角坐標(biāo)下的標(biāo)準(zhǔn)方程得x²+y²=4，將l的參數(shù)方程代入，化簡整理得t2+3

2

t+1=0．再利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系和兩點(diǎn)間的距離公式加以計(jì)算，可得求線段AB的長度．

解答：解：（1）設(shè)直線l上任意一點(diǎn)為Q（x，y），
∵直線l經(jīng)過點(diǎn)P（2，1），傾斜角α=

π

4

，∴PQ的斜率k=

y-1

x-2

=tan

π

4

=

sin π 4

cos π 4

，
因此，設(shè)y-1=tsin

π

4

=

2

2

t，x-2=tcos

π

4

=

2

2

t，
可得直線l的參數(shù)方程為

x=2+ 2 2 t y=1+ 2 2 t

（t為參數(shù)）． 
（2）圓O的方程為ρ=2，平方得ρ²=4，即x²+y²=4，
將直線l的參數(shù)方程

x=2+ 2 2 t y=1+ 2 2 t

代入x²+y²=4，整理得t2+3

2

t+1=0．
設(shè)A（2+

2

2

t₁，1+

2

2

t₁），B（2+

2

2

t₂，1+

2

2

t₂），
∴t1+t2=-3

2

，t₁t₂=1，
可得線段AB長為：
|AB|=

1 2 (t1-t2)2+ 1 2 (t1 -t22)

=

(t1-t2)2

=

(t1+t2)2-4t1t2

=

14

．

點(diǎn)評：本題將直線l的方程化成參數(shù)方程，并求直線被圓截得的弦長．著重考查了參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化和直線與圓的位置關(guān)系等知識，屬于中檔題．