Question

如圖，動(dòng)物園要圍成相同面積的長(zhǎng)方形虎籠四間，一面可利用原有的墻，其他各面用鋼筋網(wǎng)圍成．

(1)現(xiàn)有可圍36m長(zhǎng)網(wǎng)的材料，每間虎籠的長(zhǎng)、寬各設(shè)計(jì)為多少時(shí)，可使每間虎籠面積最大？

(2)若使每間虎籠面積為，則每間虎籠的長(zhǎng)、寬各設(shè)計(jì)為多少時(shí)，可使圍成四間虎籠的鋼筋網(wǎng)總長(zhǎng)最小？

Answer 1

答案：4.5m,3m;6m,4m
解析：

設(shè)每間虎籠長(zhǎng)xm，寬ym，則問(wèn)題(1)是在4x＋6y＝36的前提下求xy的最大值；而問(wèn)題(2)則是在xy＝24的前提下求4x＋6y的最小值．因此，使用極值定理解決． 解：(1)設(shè)每間虎籠長(zhǎng)xm，寬ym，則由條件知：4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18． 設(shè)每間虎籠面積為S，則S＝xy． 法1：由于， 所以，得， 即，當(dāng)且僅當(dāng)2x＝3y時(shí)，等號(hào)成立． 由解得 故每間虎籠長(zhǎng)為4.5m，寬3m時(shí)，可使面積最大． 法2：由2x＋3y＝18得． ∵x＞0，∴0＜y＜6， ． ∵0＜y＜6∴6－y＞0， ∴ 當(dāng)且僅當(dāng)6－y＝y，即y＝3時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)x＝4.5． 故每間虎籠長(zhǎng)4.5m，寬3m時(shí)，可使面積最大． (2)由條件知S＝xy＝24． 設(shè)鋼筋網(wǎng)總長(zhǎng)為l＝4x＋6y． 法1：∵， ∴l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48，當(dāng)且僅當(dāng)2x＝3y時(shí)，等號(hào)成立． 由解得 故每間虎籠長(zhǎng)6m，寬4m時(shí)，可使鋼筋網(wǎng)總長(zhǎng)最�。� 法2：由xy＝24，得． ∴． 當(dāng)且僅當(dāng)，即y＝4時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)x＝6． 故每間虎籠長(zhǎng)6m，寬4m時(shí)，可使鋼筋網(wǎng)總長(zhǎng)最�。� 在使用極值定理求函數(shù)的最大值或最小值時(shí)要注意：(1)x，y都是正數(shù)；(2)積xy(或和x＋y)為定值；(3)x與y必須能夠相等，特別情況下，還要根據(jù)條件構(gòu)造滿(mǎn)足上述三個(gè)條件的結(jié)論．