Question

（2013•連云港一模）已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的上頂點為A，左，右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，且橢圓C過點P（

4

3

，

b

3

），以AP為直徑的圓恰好過右焦點F₂．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若動直線l與橢圓C有且只有一個公共點，試問：在x軸上是否存在兩定點，使其到直線l的距離之積為1？若存在，請求出兩定點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓過點P（

4

3

，

b

3

），以AP為直徑的圓恰好過右焦點F₂，及b²=a²-c²，建立方程，即可求橢圓C的方程；
（2）分類討論，利用直線l與橢圓C有只有一個公共點，確定k，p的關系，設在x軸上存在兩點（s，0），（t，0），使其到直線l的距離之積為1，建立方程，即可求得結論．

解答：解：（1）因為橢圓過點P（

4

3

，

b

3

），所以

16

9a2

+

1

9

=1，解得a²=2，…（2分）
又以AP為直徑的圓恰好過右焦點F₂，所以AF₂⊥F₂P，即-

b

c

?

b 3

4 3 -c

=-1，所以b²=c（4-3c）．…（6分）
而b²=a²-c²=2-c²，所以c²-2c+1=0，解得c²=1，
故橢圓C的方程是

x2

2

+y²=1．…（8分）
（2）①當直線l斜率存在時，設直線l方程為y=kx+p，
代入橢圓方程得（1+2k²）x²+4kpx+2p²-2=0．
因為直線l與橢圓C有只有一個公共點，所以△=16k²p²-4（1+2k²）（2p²-2）=8（1+2k²-p²）=0，
即1+2k²=p²．…（10分）
設在x軸上存在兩點（s，0），（t，0），使其到直線l的距離之積為1，則

|ks+p|

k2+1

?

|kt+p|

k2+1

=

|k2st+kp(s+t)+p2|

k2+1

=1，
即（st+1）k+p（s+t）=0（*），或（st+3）k²+（s+t）kp+2=0 （**）．
由（*）恒成立，得

st+1=0 s+t=0.

解得

s=1 t=-1

，或

s=-1 t=1

，…（14分）
而（**）不恒成立．
②當直線l斜率不存在時，直線方程為x=±

2

時，
定點（-1，0）、F₂（1，0）到直線l的距離之積d₁?d₂=（

2

-1）（

2

+1）=1．
綜上，存在兩個定點（1，0），（-1，0），使其到直線l 的距離之積為定值1．…（16分）

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查存在性問題的研究，考查學生的計算能力，同時考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．