Question

已知函數(shù)的圖象過點(diǎn)（-1，-6），且函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱．

（Ⅰ）求m、n的值及函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若a＞0，求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a-1，a+1）內(nèi)的極值．

Answer 1

解：（1）由函數(shù)f（x）圖象過點(diǎn)（－1，－6），得m-n=-3, ……①

由f（x）=x³+mx²+nx-2，得f′（x）=3x²+2mx+n,

則g（x）=f′（x）+6x=3x²+（2m+6）x+n;

而g（x）圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以－＝0，所以m=-3,

代入①得n=0．

于是f′（x）＝3x²-6x=3x（x-2）．

由f′（x）>0得x>2或x<0,

故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（－∞，0），（2，＋∞）；

由f′（x）<0得0<x<2,

故f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，2）．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得f′（x）＝3x（x-2）,

令f′（x）＝0得x=0或x=2．

當(dāng)x變化時(shí)，f′（x）、f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞．0）	0	（0,2）	2	（2,+ ∞）
f′（x）	+	0	－	0	＋
f（x）	↑	極大值	↓	極小值	↑

由此可得：

當(dāng)0<a<1時(shí)，f（x）在（a-1,a+1）內(nèi)有極大值f（0）=-2,無極小值；

當(dāng)a=1時(shí)，f（x）在（a-1,a+1）內(nèi)無極值；

當(dāng)1<a<3時(shí)，f（x）在（a-1,a+1）內(nèi)有極小值f（2）＝－6，無極大值；

當(dāng)a≥3時(shí)，f（x）在（a-1,a+1）內(nèi)無極值．

綜上得：當(dāng)0<a<1時(shí)，f（x）有極大值－2，無極小值，當(dāng)1<a<3時(shí)，f（x）有極小值－6，無極大值；當(dāng)a=1或a≥3時(shí)，f（x）無極值．