精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
設函數f（x）=（x+1）2-2klnx．
（1）當k=2時，求函數f（x）的增區(qū)間；
（2）當k＜0時，求函數g（x）=f′（x）在區(qū)間（0，2]上的最小值．
分析：（1）因為要求函數的增區(qū)間所以求出f′（x）令其大于零，同時考慮到x＞0，故求出增區(qū)間即可；
（2）因為g（x）=f'（x），分區(qū)間討論k的取值并根據a+b≥2
ab
當且僅當a=b時取等號的方法求出最小值即可．
解答：解（1）k=2，f（x）=（x+1）2-4lnx．
則f′（x）=2x+2-
4
x
=
2
x
(x-1)(x+2)＞0，（此處用“≥”同樣給分）
注意到x＞0，故x＞1，于是函數的增區(qū)間為（1，+∞）．（寫為[1，+∞）同樣給分）
（2）當k＜0時，g（x）=f′（x）=2x+2-
2k
x
．
g（x）=2(x+
-k
x
)+2≥4
-k
+2，當且僅當x=
-k
時，上述“≥”中取“=”．
①若
-k
∈（0，2]，即當k∈[-4，0）時，函數g（x）在區(qū)間（0，2]上的最小值為4
-k
+2；
②若k＜-4，則g′(x)=2(1+
k
x2
)在（0，2]上為負恒成立，故g（x）在區(qū)間（0，2]上為減函數，
，于是g（x）在區(qū)間（0，2]上的最小值為g（2）=6-k．
綜上所述，當k∈[-4，0）時，函數g（x）在區(qū)間（0，2]上的最小值為4
-k
+2；
當k＜-4時，函數g（x）在區(qū)間（0，2]上的最小值為6-k．
點評：考查學生利用導數研究函數單調性的能力，利用導數求閉區(qū)間上函數最值的能力，a+b≥2
ab
當且僅當a=b時取等號的靈活運用．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函數y=f（x）圖象上的點到直線x-y-3=0距離的最小值為
2
，求a的值；
（2）關于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整數恰有3個，求實數a的取值范圍；
（3）對于函數f（x）與g（x）定義域上的任意實數x，若存在常數k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，則稱直線y=kx+m為函數f（x）與g（x）的“分界線”．設a=
2
2
，b=e，試探究f（x）與g（x）是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f（x）是定義在R上的偶函數，且f（x+2）=f（x）恒成立；當x∈[0，1]時，f（x）=x3-4x+3．有下列命題：
①f(-
3
4
) ＜f(
15
2
)；
②當x∈[-1，0]時f（x）=x3+4x+3；
③f（x）（x≥0）的圖象與x軸的交點的橫坐標由小到大構成一個無窮等差數列；
④關于x的方程f（x）=|x|在x∈[-3，4]上有7個不同的根．
其中真命題的個數為（　�。�

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源：徐州模擬 題型：解答題

設函數f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函數y=f（x）圖象上的點到直線x-y-3=0距離的最小值為2
2
，求a的值；
（2）關于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整數恰有3個，求實數a的取值范圍；
（3）對于函數f（x）與g（x）定義域上的任意實數x，若存在常數k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，則稱直線y=kx+m為函數f（x）與g（x）的“分界線”．設a=
2
2
，b=e，試探究f（x）與g（x）是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源：2011年江蘇省蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市高三調研數學試卷（一）（解析版） 題型：解答題

設函數f（x）=x（x-1）2，x＞0．
（1）求f（x）的極值；
（2）設0＜a≤1，記f（x）在（0，a]上的最大值為F（a），求函數的最小值；
（3）設函數g（x）=lnx-2x2+4x+t（t為常數），若使g（x）≤x+m≤f（x）在（0，+∞）上恒成立的實數m有且只有一個，求實數m和t的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源：2011年江蘇省蘇州市高考數學一模試卷（解析版） 題型：解答題

設函數f（x）=x（x-1）2，x＞0．
（1）求f（x）的極值；
（2）設0＜a≤1，記f（x）在（0，a]上的最大值為F（a），求函數的最小值；
（3）設函數g（x）=lnx-2x2+4x+t（t為常數），若使g（x）≤x+m≤f（x）在（0，+∞）上恒成立的實數m有且只有一個，求實數m和t的值．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案