Question

如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，AA1=

6

，D為C₁B的中點．
①當P為AB中點時，證明：DP∥平面ACC₁A₁；
②若AM=3MB，求異面直線DM與AC所成的角．

Answer 1

分析：①連接DP、AC₁，在△ABC₁中根據中位線定理，得DP∥AC₁，結合線面平行的判定定理，得DP∥平面ACC₁A₁；
②建立空間直角坐標系，轉化為向量

CA

與

DM

的夾角求解，求出向量坐標，利用向量夾角公式即可求得，根據向量夾角與異面角的關系即可得到答案．

解答：①證明：連接DP、AC₁，
∵△ABC₁中，P、D分別為AB、BC₁中點，
∴DP∥AC₁，
∵AC₁?平面ACC₁A₁，DP?平面ACC₁A₁，
∴DP∥平面ACC₁A₁；
②如圖建立空間直角坐標系，則C（0，0，0），A（2，0，0），M（

5

4

，

3 3

4

，0），D（

1

2

，

3

2

，

6

2

），
所以

CA

=（2，0，0），

DM

=（

3

4

，

3

4

，-

6

2

），
所以cos＜

CA

，

DM

＞=

CA • DM

| CA || DM |

=

2× 3 4

2× ( 3 4 )2+( 3 4 )2+(- 6 2 )2

=

1

2

，
所以＜

CA

，

DM

＞=60°，
故異面直線DM與AC所成的角為60°．

點評：本題在直三棱柱中證明線面平行、異面直線所成的角，著重考查了線面平行的判定、異面角等知識，屬于中檔題，用向量法求解注意向量夾角與異面直線所成角的關系，異面角的范圍為（0，

π

2

]．