Question

某地發(fā)生某種自然災害，使當地的自來水受到了污染．某部門對水質檢測后，決定往水中投放一種藥劑來凈化水質．已知每投放質量為m個單位的藥劑后，經過x天該藥劑在水中釋放的濃度y（毫克/升）滿足y=mf（x），其中f（x）=

log2(x+4)，0＜x≤4 6 x-2  ，x＞4

，當藥劑在水中釋放的濃度不低于6（毫克/升）時稱為有效凈化；當藥劑在水中釋放的濃度不低于6（毫克/升）且不高于18（毫克/升）時稱為最佳凈化．
（1）如果投放的藥劑質量為m=4，試問自來水達到有效凈化一共可持續(xù)幾天？
（2）如果投放的藥劑質量為m，為了使在7天（從投放藥劑算起包括第7天）之內的自來水達到最佳凈化，試確定應該投放的藥劑質量m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題設：投放的藥劑質量為m=4，自來水達到有效凈化等價于4f（x）≥6，利用分段函數，建立不等式，即可求得結論；
（2）由題意，?x∈（0，7]，6≤mf（x）≤18，m＞0，由函數y是分段函數，故分段建立不等式組，從而解出m的值．

解答：解：（1）由題設：投放的藥劑質量為m=4，自來水達到有效凈化等價于4f（x）≥6…（2分）
∴f（x）≥

3

2

，
∴

0＜x≤4 log2(x+4)≥ 3 2

或

x＞4 6 x-2 ≥ 3 2

    …（4分）
∴0＜x≤6，
亦即：如果投放的藥劑質量為m=4，自來水達到有效凈化一共可持續(xù)6天；             …（8分）
（2）由題設：?x∈（0，7]，6≤mf（x）≤18，m＞0，…（10分）
∵f（x）=

log2(x+4)，0＜x≤4 6 x-2  ，x＞4

，
∴?x∈（0，4]，6≤mlog₂（x+4）≤18，且?x∈（4，7]，6≤

6m

x-2

≤18，…（12分）
∴

2m≥6 3m≤18

且

6 5 m≥6 3m≤18

，…（14分）
∴5≤m≤6，
亦即：投放的藥劑質量m的取值范圍為[5，6]．…（16分）

點評：本題考查了分段函數模型的靈活應用，考查利用數學知識解決實際問題，考查學生的計算能力，屬于中檔題．