設(shè)無窮數(shù)列的首項,前項和為),且點在直線上(為與無關(guān)的正實數(shù)).

(1)求證:數(shù)列)為等比數(shù)列;

(2)記數(shù)列的公比為,數(shù)列滿足,設(shè),求數(shù)列的前項和;

(3)若(2)中數(shù)列{Cn}的前n項和Tn當(dāng)時不等式恒成立,求實數(shù)a的取值范圍。

 

【答案】

(1)證明見解析;(2);(3).

【解析】

試題分析:(1)把已知條件變形為,要化為數(shù)列項的關(guān)系,一般方法是用,兩式相減,得,從而得前后項比為常數(shù),只是還要注意看看是不是有,如有則可證得為等比數(shù)列;(2)由定義可知數(shù)列是等差數(shù)列,(是數(shù)列公差),從而數(shù)列也是等差數(shù)列,其前和易得,這說明我們在求數(shù)列和時,最好能確定這個數(shù)列是什么數(shù)列;(3)恒成立,即的最大值,下面我們要求的最大值,由(2) 是關(guān)于的二次函數(shù),我們只要應(yīng)用二次函數(shù)知識(配方法)就可求出基最大值了,但要注意是范圍是正整數(shù).

試題解析:(1)由已知,有,

當(dāng)時,;         2分

 當(dāng)時,有,

兩式相減,得,即

綜上,,故數(shù)列是公比為的等比數(shù)列;     4分

(2)由(1)知,,則

于是數(shù)列是公差的等差數(shù)列,即,         7分

=        10分

(3)不等式恒成立,即恒成立,又上遞減,則.          14分

          16分

考點:(1)數(shù)列的前項和的關(guān)系,等比數(shù)列的定義;(2)等差數(shù)列的前項和;(3)不等式恒成立與二次函數(shù)在給定范圍內(nèi)的最值.

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)數(shù)列{an}為各項均為1的無窮數(shù)列,右在此數(shù)列的首項a1后面插入一項1,隔兩項即a3后面插入一項2,再隔三項即a6后面插入一項3,…,得到這樣一個新數(shù)列{bn},則數(shù)列{bn}的前50項的和為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(06年廣東卷)(14分)

已知公比為的無窮等比數(shù)列各項的和為9,無窮等比數(shù)列各項的和為.

(Ⅰ)求數(shù)列的首項和公比;

(Ⅱ)對給定的,設(shè)是首項為,公差為的等差數(shù)列.求數(shù)列的前10項之和;

(Ⅲ)設(shè)為數(shù)列的第項,,求,并求正整數(shù),使得

存在且不等于零.

(注:無窮等比數(shù)列各項的和即當(dāng)時該無窮數(shù)列前n項和的極限)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知公比為的無窮等比數(shù)列各項的和為9,無窮等比數(shù)列各項的和為。

(1)求數(shù)列的首項和公比

(2)對給定的,設(shè)是首項為,公差為的等差數(shù)列,求的前2007項之和;

(3)(理)設(shè)為數(shù)列的第項,

①求的表達式,并求出取最大值時的值。

②求正整數(shù),使得存在且不等于零。

(文)設(shè)為數(shù)列的第項,:求的表達式,并求正整數(shù),使得存在且不等于零。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(本題滿分14分)第(1)小題滿分6分,第(2)小題滿分8分。

已知公比為的無窮等比數(shù)列各項的和為9,無窮等比數(shù)列各項的和為。

(1)求數(shù)列的首項和公比

(2)對給定的,設(shè)數(shù)列是首項為,公差為的等差數(shù)列,

求數(shù)列的通項公式及前10項的和。

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