Question

設(shè)無窮數(shù)列的首項，前項和為（），且點在直線上（為與無關(guān)的正實數(shù)）．

（1）求證：數(shù)列（）為等比數(shù)列；

（2）記數(shù)列的公比為，數(shù)列滿足，設(shè)，求數(shù)列的前項和；

（3）若（2）中數(shù)列{Cn}的前n項和T_n當(dāng)時不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

(1)證明見解析；(2)；(3).

【解析】

試題分析：(1)把已知條件變形為，要化為數(shù)列項的關(guān)系，一般方法是用代得，兩式相減，得，從而得前后項比為常數(shù)，只是還要注意看看是不是有，如有則可證得為等比數(shù)列；(2)由定義可知數(shù)列是等差數(shù)列，(是數(shù)列公差)，從而數(shù)列也是等差數(shù)列，其前和易得，這說明我們在求數(shù)列和時，最好能確定這個數(shù)列是什么數(shù)列；(3)恒成立，即的最大值，下面我們要求的最大值，由(2) 是關(guān)于的二次函數(shù)，我們只要應(yīng)用二次函數(shù)知識(配方法)就可求出基最大值了，但要注意是范圍是正整數(shù)．

試題解析：（1）由已知，有，

當(dāng)時，；         2分

 當(dāng)時，有，

兩式相減，得，即，

綜上，，故數(shù)列是公比為的等比數(shù)列；     4分

（2）由（1）知，，則

于是數(shù)列是公差的等差數(shù)列，即，         7分

則

=        10分

（3）不等式恒成立，即恒成立，又在上遞減，則．          14分

          16分

考點：(1)數(shù)列的前項和與的關(guān)系，等比數(shù)列的定義；(2)等差數(shù)列的前項和；(3)不等式恒成立與二次函數(shù)在給定范圍內(nèi)的最值．