Question

16．在△ABC中，∠BAC=$\frac{2π}{3}$，AB=2，AC=3，D為BC邊上的中點(diǎn)，$\overrightarrow{CE}$=2$\overrightarrow{EB}$，則$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AE}$=$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)向量減法的幾何意義及數(shù)乘的運(yùn)算便可由$\overrightarrow{CE}=2\overrightarrow{EB}$得到$\overrightarrow{AE}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$，而根據(jù)D為BC中點(diǎn)可得到$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$，然后進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算便可求出$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AE}$的值．

解答 解：如圖，

$\overrightarrow{CE}=2\overrightarrow{EB}$；
∴$\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AC}=2（\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AE}）$；
∴$\overrightarrow{AE}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$；
又$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$；
∴$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AE}=（\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}）•（\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}）$
=$\frac{1}{3}{\overrightarrow{AB}}^{2}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}+\frac{1}{6}{\overrightarrow{AC}}^{2}$
=$\frac{4}{3}-\frac{3}{2}+\frac{3}{2}$
=$\frac{4}{3}$．
故答案為：$\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 考查向量減法的幾何意義，向量的數(shù)乘運(yùn)算，以及向量加法的平行四邊形法則，向量的數(shù)量積的運(yùn)算及計(jì)算公式．