Question

已知數(shù)列A：x₁，x₂，x₃，…x_n，滿足x_i∈{0，1}（i=1，2，3，…，n）．定義變換T（A）：T將數(shù)列A中原有的每個“1”都變成“0，1”，原有的每個“0”都變成“1，0”，順序保持不變．若數(shù)列A₀：1，0，A_k+1=T（A_k）（k=0，1，2，…），規(guī)定A_k中連續(xù)兩項都是1的數(shù)對（1，1）的個數(shù)為a_k，連續(xù)兩項是1，0的有序數(shù)對（1，0）的個數(shù)為b_k．
（1）求數(shù)列A₁，A₂；
（2）分別寫出a_k+1與b_k，b_k+1與a_k滿足的關(guān)系式（只需寫出結(jié)果）；
（3）求a_k的表達式．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）已知數(shù)列A₀：1，0，A_k+1=T（A_k），當k=0時，A₁=T（A₀），根據(jù)變換可得：A₁．A₂．
（2）由A₀：1，0，可得b₀=1，a₀=0；由A₁：0，1，1，0，可得b₁=1，a₁=1；依此類推可得：b₂=3，a₂=1；b₃=5，a₃=3；b₄=11，a₄=5．…，由以上觀察到：a_k+1=b_k，b_k+1=a_k+2^k．其中b₀=1，a₀=0．k∈N．
（3）由（1）可得：a_k+1=b_k，b_k+1=a_k+2^k．其中b₀=1，a₀=0．k∈N．可得ak+2=ak+2k，對k分奇數(shù)與偶數(shù)討論即可得出．

解答： 解：（1）已知數(shù)列A₀：1，0，A_k+1=T（A_k），
當k=0時，A₁=T（A₀），
根據(jù)變換可得：A₁=0，1，1，0．
A₂=1，0，0，1，0，1，1，0．
（2）∵A₀：1，0，∴b₀=1，a₀=0；
∴A₁：0，1，1，0，∴b₁=1，a₁=1；
A₂：1，0，0，1，0，1，1，0．∴b₂=3，a₂=1；
A₃：0，1，1，0，1，0，0，1，1，0，0，1，0，1，1，0，b₃=5，a₃=3；
A₄：1，0，0，1，0，1，1，0，0，1，1，0，1，0，0，1，0，1，1，0，1，0，0，1，1，0，0，1，0，1，1，0．∴b₄=11，a₄=5．
…，
由以上觀察到：a_k+1=b_k，b_k+1=a_k+2^k．其中b₀=1，a₀=0．k∈N．
（3）由（1）可得：a_k+1=b_k，b_k+1=a_k+2^k．其中b₀=1，a₀=0．k∈N．
可得ak+2=ak+2k，
當k為偶數(shù)時，a2=a0+20，a₄=a₂+2²，a6=a4+24，…，a2n=a2n-2+22n-2，
∴a_2n=a₀+1+2²+…+2^2n-2=0+1+2²+…+2^2n-2=

4n-1

4-1

=

1

3

(4n-1)，
∴a2n=

1

3

(4n-1)．n∈N．
當k為奇數(shù)時，a₃=a₁+2，a5=a3+23，…，a_2n-1=a_2n-3+2^2n-3，
∴a_2n-1=a₁+2+2³+…+2^2n-3=

2×4n-1+1

3

．
∴a_k=

2k-1 3 ，k為偶數(shù) 2k+1 3 ，k為奇數(shù)

．

點評：本題考查了數(shù)列變換、等比數(shù)列的前n項和公式，考查了觀察分析猜想歸納推理的能力，屬于難題．