Question

已知偶函數(shù)滿足：當時，，當時，.
(1)求當時，的表達式；
(2)試討論：當實數(shù)滿足什么條件時，函數(shù)有4個零點，且這4個零點從小到大依次構(gòu)成等差數(shù)列.

Answer 1

（1）；（2）①時，；②時，；③時，.

試題分析：本題考查函數(shù)的奇偶性、函數(shù)解析式、函數(shù)零點問題以及等差數(shù)列的定義，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查計算能力.第一問，先把轉(zhuǎn)化成，利用已知時的解析式，利用偶函數(shù)轉(zhuǎn)化解析式；第二問，把有4個零點，先轉(zhuǎn)化為與有4個交點且均勻分布，所以利用等差中項，偶函數(shù)等基礎(chǔ)知識列出表達式，分情況進行討論分析.
試題解析：（1）設(shè)則，，
又偶函數(shù)，
所以，.
（2）零點，與交點有4個且均勻分布，
（Ⅰ）時，    得，
所以時，， 
（Ⅱ）且時 ，， ，
所以 時，，
（Ⅲ）時時，符合題意，
（Ⅳ）時，，，，，
此時，，所以或（舍）
且時，時存在.
綜上，①時，；
②時，；
③時，符合題意.