在平面直角坐標(biāo)系中，已知焦距為4的橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)左、右頂點(diǎn)分別為A、B，橢圓C的右焦點(diǎn)為F，
過(guò)F作一條垂直于x軸的直線與橢圓相交于R、S，若線段RS的長(zhǎng)為
10
3
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)Q（t，m）是直線x=9上的點(diǎn)，直線QA、QB與橢圓C分別交于點(diǎn)M、N，求證：直線MN必過(guò)x軸上的一定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)的坐標(biāo)．
（1）依題意，橢圓過(guò)點(diǎn)(2，
5
3
)，
故
4
a2
+
25
9b2
=1
a2-b2=4
，
解得
a2=9
b2=5
．…（3分）
橢圓C的方程為
x2
9
+
y2
5
=1．…（4分）
（2）設(shè)Q（9，m），直線QA的方程為y=
m
12
(x+3)，…（5分）
代入橢圓方程，得（80+m2）x2+6x+9m2-720=0，…（6分）
設(shè)M（x1，y1），則-3x1=
9m2-720
m2+80
⇒x1=
240-3m2
m2+80
，…（7分）
y1=
m
12
(x1+3)=
m
12
(
240-3m2
m2+80
+3)=
40m
m2+80
，
故點(diǎn)M的坐標(biāo)為(
240-3m2
m2+80
，
40m
m2+80
)．…（8分）
同理，直線QB的方程為y=
m
6
(x-3)，
代入橢圓方程，得（20+m2）x2-6x+9m2-180=0，
設(shè)N（x2，y2），
則3x2=
9m2-180
m2+20
⇒x2=
3m2-60
m2+20
，
y2=
m
6
(x2-3)=
m
6
(
3m2-60
m2+20
-3)=-
20m
m2+20
．
得點(diǎn)N的坐標(biāo)為(
3m2-60
m2+20
，-
20m
m2+20
)．…（10分）
①若
240-3m2
m2+80
=
3m2-60
m2+20
⇒m2=40時(shí)，
直線MN的方程為x=1，與x軸交于（1，0）點(diǎn)；
②若m2≠40，直線MN的方程為y+
20m
m2+20
=
10m
40-m2
(x-
3m2-60
m2+20
)，
令y=0，解得x=1．
綜上所述，直線MN必過(guò)x軸上的定點(diǎn)（1，0）．…（12分）
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，P是拋物線C：x2=2y上一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，直線l過(guò)點(diǎn)P且與拋物線交于另一點(diǎn)Q，已知P（x1，y1），Q（x2，y2）．
（1）若l經(jīng)過(guò)點(diǎn)F，求弦長(zhǎng)|PQ|的最小值；
（2）設(shè)直線l：y=kx+b（k≠0，b≠0）與x軸交于點(diǎn)S，與y軸交于點(diǎn)T
①求證：
|ST|
|SP|
+
|ST|
|SQ|
=|b|(
1
y1
+
1
y2
)
②求
|ST|
|SP|
+
|ST|
|SQ|
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

若橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的焦距為2
5
，且過(guò)點(diǎn)（-3，2），⊙O的圓心為原點(diǎn)，直徑為橢圓的短軸，⊙M的方程為（x-8）2+（y-6）2=4，過(guò)⊙M上任一點(diǎn)P作⊙O的切線PA、PB，切點(diǎn)為A、B．
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線PA與⊙M的另一交點(diǎn)為Q，當(dāng)弦PQ最大時(shí)，求直線PA的直線方程；
（3）求
OA
•
OB
的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，已知點(diǎn)A是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的右頂點(diǎn)，若點(diǎn)C(
3
2
，
3
2
)在橢圓上，且滿足
OC
•
OA
=
3
2
．（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若直線l與橢圓交于兩點(diǎn)M，N，當(dāng)
OM
+
ON
=m
OC
，m∈(0，2)時(shí)，求△OMN面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知雙曲線與橢圓
x2
4
+y2=1共焦點(diǎn)，它們的離心率之和為
3
3
2
；
（1）求橢圓與雙曲線的離心率e1、e2；
（2）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與漸近線方程；
（3）已知直線l：y=
1
2
x+m與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知直線x-y+1=0經(jīng)過(guò)橢圓S：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一個(gè)焦點(diǎn)和一個(gè)頂點(diǎn)．
（1）求橢圓S的方程；
（2）如圖，M，N分別是橢圓S的頂點(diǎn)，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于P、A兩點(diǎn)，其中P在第一象限，過(guò)P作x軸的垂線，垂足為C，連接AC，并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)B，設(shè)直線PA的斜率為k．
①若直線PA平分線段MN，求k的值；
②對(duì)任意k＞0，求證：PA⊥PB．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知橢圓
x2
16
+
y2
12
=1，點(diǎn)P為其上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2為橢圓的焦點(diǎn)，Q為射線F1P延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且|PQ|=|PF2|，設(shè)R為F2Q的中點(diǎn)．
（1）當(dāng)P點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求R形成的軌跡方程；
（2）設(shè)點(diǎn)R形成的曲線為C，直線l：y=k（x+4
2
）與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，若∠AOB=90°時(shí)，求k的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知圓C過(guò)定點(diǎn)F（-
1
4
，0），且與直線x=
1
4
相切，圓心C的軌跡為E，曲線E與直線l：y=k（x+1）（k∈R）相交于A、B兩點(diǎn)．
（I）求曲線E的方程；
（II）當(dāng)△OAB的面積等于
10
時(shí)，求k的值；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知雙曲線的兩條漸近線方程為直線l1：y=-
x
2
和l2：y=
x
2
，焦點(diǎn)在y軸上，實(shí)軸長(zhǎng)為2
3
，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求雙曲線方程；
（2）設(shè)P1，P2分別是直線l1和l2上的點(diǎn)，點(diǎn)M在雙曲線上，且
P1M
=2
MP2
，求三角形P1OP2的面積．

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