Question

平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知點(diǎn)A（-2，1），B（-1，1），C（m-2，m），若α，β滿(mǎn)足，且0≤α≤1，0≤β≤1，則α²+β²的最大值為_(kāi)_______．

Answer 1

1
分析：由條件可得3α+2β=m-（m-2）=2，點(diǎn)（α，β ）在線段MN上運(yùn)動(dòng)，MN的方程為 3x+2y-2=0（ 0≤x≤1，0≤y≤1），
式子α²+β² 即點(diǎn)（α，β ）到原點(diǎn)的距離的平方，數(shù)形結(jié)合可得α²+β² 的最大值．
解答：由 α，β滿(mǎn)足，且0≤α≤1，0≤β≤1，可得
（m-2，m）=（-2α-β，α+β ），∴3α+2β=m-（m-2）=2．
再由α、β的范圍可得點(diǎn)（α，β ）在線段MN上運(yùn)動(dòng)，MN的方程為 3x+2y-2=0，（ 0≤x≤1，0≤y≤1）．
要求的式子α²+β² 即點(diǎn)（α，β ）到原點(diǎn)的距離的平方，數(shù)形結(jié)合可得
α²+β² 的最大值為|OM|²=1，
故答案為 1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查平面向量基本定理及其幾何意義，判斷α²+β² 即點(diǎn)（α，β ）到原點(diǎn)的距離的平方，是解題的關(guān)鍵，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．