Question

已知函數(shù)=,=,若曲線和曲線都過(guò)點(diǎn)P(0,2),且在點(diǎn)P處有相同的切線.

(Ⅰ)求,,,的值;

(Ⅱ)若時(shí),≤,求的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ)=4,=2,=2,=2；(Ⅱ)

【解析】

試題分析：(Ⅰ)求四個(gè)參數(shù)的值，需尋求四個(gè)獨(dú)立的條件，依題意代入即可求出的值；(Ⅱ)構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，記==()，由已知，只需令的最小值大于0即可，先求的根，得，只需討論和定義域的位置，分三種情況進(jìn)行，當(dāng)時(shí)，將定義域分段，分別研究其導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，進(jìn)而求最小值；當(dāng)時(shí)，的符號(hào)確定，故此時(shí)函數(shù)具有單調(diào)性，利用單調(diào)性求其最小值即可.

試題解析：(Ⅰ) 由已知得,而，代入得，故=4,=2,=2,=2;

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，

設(shè)函數(shù)==(),

==, 由題設(shè)知，即，令，得

，

（1）若，則，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，記在時(shí)單調(diào)遞減，時(shí)單調(diào)遞增，故在時(shí)取最小值，而，∴當(dāng)時(shí)，，即≤；

（2）若，則，∴當(dāng)時(shí)，，∴在單調(diào)遞增，而.∴當(dāng)時(shí)，，即≤；

（3）若時(shí)，，則在單調(diào)遞增，而==<0,

∴當(dāng)≥-2時(shí),≤不可能恒成立,

綜上所述,的取值范圍為[1,].

考點(diǎn)：1、導(dǎo)數(shù)的幾何意義；2、導(dǎo)數(shù)在單調(diào)性上的應(yīng)用；3、函數(shù)的極值和最值.