Question

7．已知函數(shù)f（x）=x²+$\frac{1}{2}$x²-4x．
（1）求f′（x）；
（2）求函數(shù)在區(qū)間[-2，2]上的最值．

Answer 1

分析 （1）直接利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求解；
（2）求出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，由零點(diǎn)對(duì)定義域分段，進(jìn)一步求出函數(shù)在[-2，2]上的極值及區(qū)間端點(diǎn)值得答案．

解答 解：（1）∵f（x）=x³+$\frac{1}{2}$x²-4x，
∴f′（x）=3x²+x-4；
（2）由f′（x）=3x²+x-4=0，得x=-$\frac{4}{3}$或x=1．
當(dāng)x∈（-∞，-$\frac{4}{3}$）∪（1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0；
當(dāng)x∈（-$\frac{4}{3}$，1）時(shí)，f′（x）＜0．
∴f（x）的增區(qū)間為（-∞，-$\frac{4}{3}$），（1，+∞），減區(qū)間為（-$\frac{4}{3}$，1）．
∴f（x）的極大值為f（-$\frac{4}{3}$）=$\frac{104}{27}$，極小值為f（1）=$-\frac{5}{2}$．
又f（-2）=2，f（2）=2．
∴函數(shù)在區(qū)間[-2，2]上的最小值是$-\frac{5}{2}$，最大值是$\frac{104}{27}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，是中檔題．