Question

通過研究函數(shù)f（x）=2x⁴-10x²+2x-1在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的零點(diǎn)個數(shù)，進(jìn)一步研究可得g（x）=2xⁿ+10x²-2x-1（n≥3，n∈N）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的零點(diǎn)個數(shù)為________．

Answer 1

分析：對函數(shù)f（x）=2x⁴-10x²+2x-1進(jìn)行求導(dǎo)，求得函數(shù)的極值，單調(diào)性，判斷零點(diǎn)個數(shù)，對于函數(shù)g（x）=2xⁿ+10x²-2x-1（n≥3，n∈N）用同樣的方法可得，注意計(jì)算時整體代換．
解答：∵函數(shù)f（x）=2x⁴-10x²+2x-1，
∴f′（x）=8x³-20x+2=2（4x³-10x+1）
在f′（x）=0時，
f（x）=2x⁴-10x²+2x-1，
=2x⁴-5x²+x-5x²+x-1，
=（4x³-10x+1）-5x²+x-1=-5x²+x-1，
由于判別式△＜0，所以，f（x）的所有極值均是負(fù)數(shù)．
又因?yàn)楫?dāng)x趨向于負(fù)無窮和正無窮時均為無窮大，
所以，零點(diǎn)有兩個．
對任意g（x）=2xⁿ+10x²-2x-1（n≥3，n∈N）
也有，g'（x）=0時有，
g（x）=（-10）x²+（2-）x-1
可知n＞3時，其判別式△＜0
所以，當(dāng)n為偶數(shù)時，有兩個零點(diǎn)
n為奇數(shù)時，有3個零點(diǎn)，
故答案為．
點(diǎn)評：此題是個中檔題．考查函數(shù)零點(diǎn)判定定理和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值等問題，同時考查學(xué)生靈活應(yīng)用知識分析解決問題的能力和計(jì)算能力．