Question

已知tanα=

2

，sin（α+β）=

5

13

，α，β∈（0，π），求cosβ．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數(shù),兩角和與差的余弦函數(shù)

專題：三角函數(shù)的求值

分析：由tanα=

2

及α∈（0，π）求得α∈（

π

4

，

π

3

），再由同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求得cosα，sinα的值，結(jié)合β∈（0，π）及sin（α+β）=

5

13

求得cos（α+β）=-

12

13

．由cosβ=cos[（α+β）-α]展開兩角差的余弦得答案．

解答： 解：∵tanα=

2

＞1，且α∈（0，π），
∴α∈（

π

4

，

π

3

），
則cosα=

1

secα

=

1

1+tan2α

=

1

3

=

3

3

，
sinα=

1-( 3 3 )2

=

6

3

．
由α∈（

π

4

，

π

3

），β∈（0，π），
則α+β∈（

π

4

，

4π

3

），又sin（α+β）=

5

13

，
∴α+β∈（

π

2

，π），則cos（α+β）=-

12

13

．
∴cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=-

12

13

×

3

3

+

5

13

×

6

3

=

5 6 -12 3

39

．

點評：本題考查了兩角和與差的三角函數(shù)，考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，拆角配角的思想是解決該題的關(guān)鍵，是中檔題．