Question

已知數(shù)列{a_n}中，a_n=2-

1

an-1

（n≥2），a₁=

3

5

，b_n=

1

an-1

（n∈N^*）
（1）求證：數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)，并說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用等差數(shù)列的定義，進(jìn)行證明；
（2）依題意有a_n-1=

1

n-3.5

，求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可得出結(jié)論．

解答： （1）證明：b_n+1-b_n=

1

an+1-1

-

1

an-1

=

1

2- 1 an -1

-

1

an-1

=1，
∵a₁=

3

5

，∴b₁=-

5

2

，
∴數(shù)列{b_n}是以-

5

2

為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列；
（2）解：依題意有a_n-1=

1

n-3.5

，
對(duì)于函數(shù)y=

1

x-3.5

，在x＞3.5時(shí)，y＞0，y′＜0，在（3.5，+∞）上為減函數(shù)．且y＞0，故當(dāng)n=4時(shí)，a_n=

1

n-3.5

+1取最大值3．
而函數(shù)y=

1

x-3.5

，在x＜3.5時(shí)，y＜0，y′＜0，
在（-∞，3.5）上也為減函數(shù)．且y＜0，故當(dāng)n=3時(shí)，取最小值，a₃=-1．
∴數(shù)列{a_n}中的最大項(xiàng)是a₄=3；最小項(xiàng)是a₃=-1

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推式，考查等差數(shù)列的證明，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，屬于中檔題．