【題目】已知函數(shù)f(x)=x(1-)是R上的偶函數(shù).
(1)對(duì)任意的x∈[1,2],不等式m·≥2x+1恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
(2)令g(x)=1-,設(shè)函數(shù)F(x)=g(4x-n)-g(2x+1-3)有零點(diǎn),求實(shí)數(shù)n的取值范圍.
【答案】(1)實(shí)數(shù)m的取值范圍為[3,+∞).(2)實(shí)數(shù)n的取值范圍是(2,+∞).
【解析】試題分析:(1)先根據(jù)偶函數(shù)得a=2,再分離變量得m≥2x-1最大值,即得實(shí)數(shù)m的取值范圍(2)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性化簡(jiǎn)方程F(x)=0得n=4x-2x+1+3,再根據(jù)二次函數(shù)值域求實(shí)數(shù)n的取值范圍.
試題解析:(1)∵函數(shù)f(x)為偶函數(shù),∴f(-x)=f(x),即(-x)·(1-)=x·(1-).
∴x·(2-a)=0,由于x不恒為0,∴a=2.3分
故f(x)=x(1-)=x·.
又x∈[1,2],∴2x-1>0,2x+1>0,
∴不等式m·≥2x+1恒成立,等價(jià)于m≥2x-1恒成立.
又x∈[1,2],∴2x-1∈[1,3],∴當(dāng)m≥3時(shí),不等式m≥2x-1恒成立,
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為[3,+∞).
(2)函數(shù)F(x)=g(4x-n)-g(2x+1-3)有零點(diǎn),等價(jià)于方程g(4x-n)-g(2x+1-3)=0有實(shí)數(shù)根.由(1)知f(x)=x(1-),
∴g(x)=1-= (x≠0).
由2x+1是增函數(shù),∴g(x)是減函數(shù).9分
∴4x-n=2x+1-3,
∴n=4x-2x+1+3.
∵4x-2x+1+3
=(2x)2-2·2x+3
=(2x-1)2+2,
又x≠0,∴(2x-1)2+2>2.
故實(shí)數(shù)n的取值范圍是(2,+∞).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對(duì)于定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x),若f(x)在(-∞,0)和(0,+∞)上均有零點(diǎn),則稱函數(shù)f(x)為“含界點(diǎn)函數(shù)”,則下列四個(gè)函數(shù)中,不是“含界點(diǎn)函數(shù)”的是( )
A. f(x)=x2+bx-1(b∈R) B. f(x)=2-|x-1|
C. f(x)=2x-x2 D. f(x)=x-sin x
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,如果存在正實(shí)數(shù),使得對(duì)任意,都有,且恒成立,則稱函數(shù)為上的“的型增函數(shù)”,已知是定義在上的奇函數(shù),且在時(shí), ,若為上的“2017的型增函數(shù)”,則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“微信運(yùn)動(dòng)”已成為當(dāng)下熱門的運(yùn)動(dòng)方式,小王的微信朋友圈內(nèi)也有大量好友參與了“微信運(yùn)動(dòng)”,他隨機(jī)選取了其中的40人(男、女各20人),記錄了他們某一天的走路步數(shù),并將數(shù)據(jù)整理如下:
步數(shù) 性別 | 0-2000 | 2001-5000 | 5001-8000 | 8001-10000 | >10000 |
男 | 1 | 2 | 3 | 6 | 8 |
女 | 0 | 2 | 10 | 6 | 2 |
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
附:
(1)已知某人一天的走路步數(shù)超過8000步被系統(tǒng)評(píng)定為“積極型”,否則為“懈怠型”,根據(jù)題意完成下面的列聯(lián)表,并據(jù)此判斷能否有95%以上的把握認(rèn)為“評(píng)定類型”與“性別”有關(guān)?
積極型 | 懈怠型 | 總計(jì) | |
男 | |||
女 | |||
總計(jì) |
(2)若小王以這40位好友該日走路步數(shù)的頻率分布來估計(jì)其所有微信好友每日走路步數(shù)的概率分布,現(xiàn)從小王的所有微信好友中任選2人,其中每日走路不超過5000步的有人,超過10000步的有人,設(shè),求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓右頂點(diǎn)與右焦點(diǎn)的距離為,短軸長(zhǎng)為
(I)求橢圓的方程;
(Ⅱ)過左焦點(diǎn)F的直線與橢圓分別交于A、B兩點(diǎn),若三角形OAB的面積為求直線AB的方程。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= (其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),常數(shù)a>0).
(1)當(dāng)a=1時(shí),求曲線在(0,f(0))處的切線方程;
(2)若存在實(shí)數(shù)x∈(a,2],使得不等式f(x)≤e2成立,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠ABC=45°,點(diǎn)O在AB上,且OB=OC=AB,PO⊥平面ABC,DA∥PO,DA=AO=PO.
(1)求證:PB∥平面COD;
(2)求二面角O-CD-A的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知矩形所在平面垂直于直角梯形所在平面于直線,且, 且∥.
(Ⅰ)設(shè)點(diǎn)為棱中點(diǎn),求證: 平面;
(Ⅱ)線段上是否存在一點(diǎn),使得直線與平面所成角的正弦值等于?若存在,試確定點(diǎn)的位置;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知的面積為,且, .
(Ⅰ)若 的圖象與直線相鄰兩個(gè)交點(diǎn)間的最短距離為,且,求的面積;
(Ⅱ)求的最大值.
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