Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，AD∥BC，∠ABC=

π

2

，AB=PA=

1

3

AD=a，cos∠ADC=

2

5

．
（Ⅰ）求點(diǎn)D到平面PBC的距離；
（Ⅱ）求二面角C-PD-A的正切值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)BC∥AD，從而點(diǎn)D到平面PBC間的距離等于點(diǎn)A到平面PBC的距離，過(guò)A作AE⊥PB，垂足為E，則AE⊥平面PBC，AE的長(zhǎng)等于點(diǎn)D到平面PBC的距離，求出AE即可；
（Ⅱ）引CM⊥AD于M，MN⊥PD于N，則CM⊥平面PAD，MN是CN在平面PAD上的射影，由三垂線(xiàn)定理可知CN⊥PD，則∠CNM是二面角C-PD-A的平面角，解三角形CNM即可求出二面角C-PD-A的正切值．

解答：解：（Ⅰ）如圖，在四棱錐P-ABCD中，
∵BC∥AD，從而點(diǎn)D到平面PBC間的距離等于點(diǎn)A到平面PBC的距離．
∵∠ABC=

π

2

，∴AB⊥BC，
又PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BC，∴BC⊥平面PAB，
∴平面PAB⊥平面PBC，交線(xiàn)為PB，過(guò)A作AE⊥PB，垂足為E，則AE⊥平面PBC，
∴AE的長(zhǎng)等于點(diǎn)D到平面PBC的距離．（3分）
而AB=PA=a，∴AE=

2

2

a．
即點(diǎn)D到平面PBC的距離為

2

2

a．（5分）

（Ⅱ）∵PA⊥底面ABCD，∴平面PAD⊥底面ABCD，
引CM⊥AD于M，MN⊥PD于N，則CM⊥平面PAD，
∴MN是CN在平面PAD上的射影，由三垂線(xiàn)定理可知CN⊥PD，
∴∠CNM是二面角C-PD-A的平面角．（8分）
依題意∠ADC=arccos

2

5

，AB=PA=

1

3

AD=a，
∴tan∠ADC=

AB

AD-BC

=

a

3a-BC

=

1

2

，∴BC=a，
可知DM=

2

3

AD，∴MN=

2

3

AD•PA

AD2+PA2

=

2

3

3a•a

9a2+a2

=

2 5

a，（10分）
tanCMN=

CM

MN

=

a

2 5 a

=

10

2

，∴二面角C-PD-A的正切值為

10

2

（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)到面的距離，二面角及其度量，解題的關(guān)鍵是尋找二面角的平面角，考查空間想象能力，邏輯思維能力，計(jì)算能力，是中檔題．