Question

5．已知函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}+x+1，x≥0\\ 2x+1，x＜0\end{array}\right.$，若f（sinα-sinβ+sin15°-1）=-1，f（cosα-cosβ+cos15°+1）=3，則cos（α-β）=（　　）

• A． -2
• B． 2
• C． $-\frac{1}{2}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 由題意得2（sinα-sinβ+sin15°-1）+1=-1，（cosα-cosβ+cos15°+1）²+（cosα-cosβ+cos15°+1）+1=3，化簡(jiǎn)可得sinα-sinβ=-sin15°①，cosα-cosβ=-cos15°②．再把①②平方相加可得cos（α-β）的值．

解答 解：由題意可得sinα-sinβ+sin15°-1＜0，2（sinα-sinβ+sin15°-1）+1=-1，
cosα-cosβ+cos15°+1＞0，（cosα-cosβ+cos15°+1）²+（cosα-cosβ+cos15°+1）+1=3．
化簡(jiǎn)可得sinα-sinβ=-sin15°①，
cosα-cosβ+cos15°+1=-2 或cosα-cosβ+cos15°+1=1，
即cosα-cosβ=-3-cos15°（舍去），或cosα-cosβ=-cos15°②．
把①②平方相加可得cos（α-β）=$\frac{1}{2}$，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角和差的余弦公式的應(yīng)用，屬于中檔題．