21、已知定義域在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+y)=f(x)+f(y),且當x>0時,f(x)>0,
(1)求f(0).
(2)判斷函數(shù)的奇偶性,并證明之.
(3)解不等式f(a2-4)+f(2a+1)<0.
分析:解決此類問題的關(guān)鍵是利用好條件中的函數(shù)性質(zhì)等式.(1)利用賦值法求f(0)的值;(2)利用賦值法及定義證明函數(shù)的奇偶性;(3)利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式.
解答:解:(1)取x=y=0則f(0)=2f(0)∴f(0)=0

(2)f(x)是奇函數(shù).其證明如下:
對任意x∈R,取y=-x則f[x+(-x)]=f(x)+f(-x)=f(0)=0即f(-x)=-f(x)
∴f(x)是R上的奇函數(shù)

(3)任意取x1,x2∈R,x1<x2,則x2=x1+△x(其中△x>0)
∴f(x2)=f(x1+△x)=f(x1)+f(△x)
∴f(x2)-f(x1)=f(△x)>0即f(x2)>f(x1
∴f(x)是R上的增函數(shù)
又∵f(a2-4)+f(2a+1)<0
∴f(2a+1)<-f(a2-4)=f(4-a2
∴2a+1<4-a2即a2+2a-3<0
∴-3<a<1
點評:抽象函數(shù)求值問題的方法就是賦值.判斷抽象函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性通常應(yīng)用定義法.抽象函數(shù)解不等式應(yīng)利用函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性來解決.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知a、b∈R,向量
e1
=(x,1),
e2
=(-1,b-x),函數(shù)f(x)=a-
1
e1
e2
是偶函數(shù).
(1)求b的值;
(2)若在函數(shù)定義域內(nèi)總存在區(qū)間[m,n](m<n),使得y=f(x)在區(qū)間[m,n]上的函數(shù)值組成的集合也是[m,n],求實數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

24、已知下表為定義域為R的函數(shù)f(x)=ax3+cx+d若干自變量取值及其對應(yīng)函數(shù)值,為便于研究,相關(guān)函數(shù)值非整數(shù)值時,取值精確到0.01.
x 3.27 1.57 -0.61 -0.59 0.26 0.42 -0.35 -0.56 0 4.25
y -101.63 -10.04 0.07 0.03 0.21 0.20 -0.22 -0.03 0 -226.05
根據(jù)表中數(shù)據(jù)解答下列問題:
(1)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[0.55,0.6]上是否存在零點,寫出判斷并說明理由;
(2)證明:函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(-∞,-0.35]單調(diào)遞減.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

已知a、b∈R,向量數(shù)學公式=(x,1),數(shù)學公式=(-1,b-x),函數(shù)f(x)=a-數(shù)學公式是偶函數(shù).
(1)求b的值;
(2)若在函數(shù)定義域內(nèi)總存在區(qū)間[m,n](m<n),使得y=f(x)在區(qū)間[m,n]上的函數(shù)值組成的集合也是[m,n],求實數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源:2008年11月北京市北大附中高中高一(上)課改數(shù)學模塊水平監(jiān)測(必修1)(解析版) 題型:解答題

已知下表為定義域為R的函數(shù)f(x)=ax3+cx+d若干自變量取值及其對應(yīng)函數(shù)值,為便于研究,相關(guān)函數(shù)值非整數(shù)值時,取值精確到0.01.
x3.271.57-0.61-0.590.260.42-0.35-0.564.25
y-101.63-10.040.070.030.210.20-0.22-0.03-226.05
根據(jù)表中數(shù)據(jù)解答下列問題:
(1)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[0.55,0.6]上是否存在零點,寫出判斷并說明理由;
(2)證明:函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(-∞,-0.35]單調(diào)遞減.

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科目:高中數(shù)學 來源:2011年上海市黃浦區(qū)高考數(shù)學一模試卷(文理合卷)(解析版) 題型:解答題

已知a、b∈R,向量=(x,1),=(-1,b-x),函數(shù)f(x)=a-是偶函數(shù).
(1)求b的值;
(2)若在函數(shù)定義域內(nèi)總存在區(qū)間[m,n](m<n),使得y=f(x)在區(qū)間[m,n]上的函數(shù)值組成的集合也是[m,n],求實數(shù)a的取值范圍.

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