Question

已知圓C₁：（x-1）²+（y-2）²=1
（1）求過(guò)點(diǎn)P（2，4）所作的圓C₁的切線方程；
（2）若圓C₁與圓C₂：（x+1）²+（y-1）²=4相交于A、B兩點(diǎn)，求線段AB的長(zhǎng)度．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的切線方程,圓與圓的位置關(guān)系及其判定

專(zhuān)題：直線與圓

分析：（1）當(dāng)斜率存在時(shí)，用點(diǎn)斜式設(shè)切線方程，根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑，求得k的值，可得切線方程．當(dāng)斜率不存在時(shí)，易得切線方程，從而得出結(jié)論．
（2）把兩個(gè)圓的方程相減可得直線AB方程，求出圓心C₁（1，2）到直線AB距離d，利用弦長(zhǎng)公式求得|AB|的值

解答： 解：（1）當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為y-4=k（x-2）即kx-y+4-2k=0，
于是

|k-2+4-2k|

1+k2

=1，解得k=

3

4

，切線方程為3x-4y+10=0．
當(dāng)斜率不存在時(shí)，得切線方程為x=2，
綜上，切線方程為3x-4y+10=0或x=2．
（2）把兩個(gè)圓的方程相減可得直線AB方程：2x+y-3=0，
則圓心C₁（1，2）到直線AB距離d=

|2+2-3|

5

=

5

5

，
故|AB|=2

1-( 5 5 )2

=

4 5

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查用點(diǎn)斜式求直線的方程，求兩個(gè)圓的公共弦所在的直線方程的方法，點(diǎn)到直線的距離公式、弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．