Question

已知f（x）=3^x，并且f（a+2）=18，g（x）=3^ax-4^x（a∈R）．
（1）求函數(shù)g（x）的解析式；
（2）求函數(shù)g（x）在[-1，1]上的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的值域,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由已知中f（x）=3^x，并且f（a+2）=18，可得3^a=2，進(jìn)而得到函數(shù)g（x）的解析式；
（2）令t=2^x，則y=g（x）=2^x-4^x=t-t²=-（t-

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2

）²+

1

4

，t∈[

1

2

，2]，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得函數(shù)g（x）在[-1，1]上的值域．

解答： 解：（1）∵f（a+2）=18，f（x）=3^x，
∴3^a+2=18，
∴3^a=2，
∴g（x）=（3^a）^x-4^x=2^x-4^x．
（2）令t=2^x，
由x∈[-1，1]得：t∈[

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，2]，
則y=g（x）=2^x-4^x=t-t²=-（t-

1

2

）²+

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4

，t∈[

1

2

，2]，
故當(dāng)t=

1

2

，即x=-1時(shí)，函數(shù)g（x）取最大值

1

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，
當(dāng)t=2，即x=1時(shí)，函數(shù)g（x）取最小值-2，
故函數(shù)g（x）在[-1，1]上的值域?yàn)閇-2，

1

4

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的值域，函數(shù)解析式的求法，熟練掌握指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，并由此求出函數(shù)g（x）的解析式，是解答的關(guān)鍵．