Question

函數(shù)f（x）=x³+ax²-ax（a∈R）．（1）若f（x）在x=1處取得極值，求a的值；（2）F（x）=f（x）-f′（x）在區(qū)間[-3，-1]上是增函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵函數(shù)f（x）=x³+ax²-ax（a∈R），∴f′（x）=3x²+2ax-a，
由 f′（1）=0，得 a=-3．
（2）F（x）=f（x）-f′（x）=x³+ax²-ax-（3x²+2ax-a）=x³+（a-3）x²-3ax+a，
F′（x）=3x²+2（a-3）x-3a，
△=4（a-3）²-4×3×（-3a）=4（a²+3a+9）＞0恒成立，∴F′（x）＜0必有解．
易知函數(shù)F′（x）的圖象為拋物線，對(duì)稱軸為 x=1-，
∵F（x）=f（x）-f′（x）在區(qū)間[-3，-1]上是增函數(shù)，∴x∈[-3，-1]時(shí)，F(xiàn)′（x）≥0，
∴，或 ，∴，或 ，∴a≤，
故a 的取值范圍為（-∞，）．
分析：（1）利用函數(shù)在極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)等于0，求得 a值．
（2）利用F（x）=f（x）-f′（x）在區(qū)間[-3，-1]上是增函數(shù)，得到 x∈[-3，-1]時(shí)，F(xiàn)′（x）≥0，
分區(qū)間在對(duì)稱軸的左側(cè)和右側(cè)兩種情況進(jìn)行討論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)在某區(qū)間上存在極值的條件，單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想．