Question

如圖所示，為處理含有某種雜質(zhì)的污水，要制造一個底寬為2m的無蓋長方體沉淀箱，污水從A孔流入，經(jīng)沉淀后從B孔流出，設(shè)箱體的長度為a m，寬度為b m，已知流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)與a，b的乘積ab成反比，現(xiàn)有制箱材料60，問當a，b各為多長時，沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)最小(A，B孔的面積忽略不計)．

Answer 1

答案：略
解析：

解法1：設(shè)流出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)為y，由題意，其中k為比例系數(shù)(k＞0)．根據(jù)題意，得2×2b＋2ab＋2a=60(a＞0，b＞0)． ∴(由a＞0，b＞0，可得a＜30)．∴． 令t=a＋2，則a=t－2． 從而， ∴． 當且僅當，即時取“=”號，∴a=6． 由a=6，可得b=3． 綜上所述：當a=6m，b=3m時，經(jīng)沉淀后流出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)最�。� 解法2：設(shè)流出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)為y，依題意，其中k為比例系數(shù)，k＞0，要求y的最小值必須求出ab的最大值． 依題設(shè)4b＋2ab＋2a=60，即ab＋a＋2b=30(a＞0，b＞0)． ∵(當且僅當a=2b時取“=”號)， ∴，可解得0＜ab≤18． 由a=2b及ab＋a＋2b=30，可得a=6，b=3， 即a=6，b=3時，ab取得最大值，從而y的值最�。�

提示：

分析：題意中的“雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)”可按“雜質(zhì)的含量”理解，設(shè)為y．由題意y與ab成反比，又設(shè)比例系數(shù)為k，則．又由于箱體材料多少的限制，a，b之間應(yīng)有一定的關(guān)系式，即2×(2b)＋2ab＋2a=60，因此該題的數(shù)學(xué)模型是：已知ab＋a＋2b=30，a＞0，b＞0，求：a，b為何值時，最小．