Question

已知函數(shù)f（x）=cosx（sinx+cosx）-ksin（x+

π

4

）sin（x-

π

4

）．
（1）當(dāng)k=2時(shí)，求函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，

3π

2

）上的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）當(dāng)tanα=

1

2

時(shí)，f（α）=

3

2

，求k的值．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦函數(shù)的單調(diào)性,兩角和與差的正弦函數(shù),二倍角的正弦,二倍角的余弦

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）當(dāng)k=2時(shí)，利用輔助角公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性即可求函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，

3π

2

）上的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）當(dāng)tanα=

1

2

時(shí)，將f（α）進(jìn)行化簡(jiǎn)，利用1的代換，即可求k的值．

解答： 解：（1）當(dāng)k=2時(shí)，f（x）=cosx（sinx+cosx）-2sin（x+

π

4

）sin（x-

π

4

）
=sinxcosx+cos²x-2sin（x+

π

4

）cos（x+

π

4

）
=sinxcosx+cos²x-sin2（x+

π

4

）=sinxcosx+cos²x-cos2x
=

1

2

sin2x+

1+cos2x

2

-cos2x
=

1

2

sin2x-

1

2

cos2x+

1

2

=

2

2

sin（2x-

π

4

）+

1

2

由2mπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2mπ+

π

2

，m∈Z
得mπ-

π

8

≤x≤mπ+

3π

8

，k∈Z
∵若x∈（0，

3π

2

），
∴當(dāng)m=0時(shí)，-

π

8

≤x≤

3π

8

，m∈Z，此時(shí)0＜x≤

3π

8

，
當(dāng)m=1時(shí)，

7π

8

≤x≤

11π

8

．
綜上函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，

3π

8

]，[

7π

8

，

11π

8

]；
（2）當(dāng)tanα=

1

2

時(shí)，則

sinα

cosα

=

1

2

，即cosα=2sinα，
則由f（α）=

3

2

，得f（α）=cosx（sinα+cosα）-ksin（α+

π

4

）sin（α-

π

4

）
=sinαcosα+cos²α-ksin（α+

π

4

）cos（α+

π

4

）
=sinαcosα+cos²α-

k

2

sin2（α+

π

4

）=sinαcosα+cos²α-

k

2

cos2α=
=sinαcosα+cos²α-

k

2

[cos²α-sin²α]=

3

2

，
即

sinαcosα+cos2α- k 2 (cos2α-sin2α)

sin2α+cos2α

=

tanα+1- k 2 (1-tan2α)

1+tan2α

=

1 2 +1- k 2 (1- 1 4 )

1+ 1 4

=

12-3k

10

=

3

2

，
解得k=-1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)和求解，利用輔助角公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，考查學(xué)生是運(yùn)算能力．