Question

在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=3，高為2，則它的外接球上A、B兩點的球面距離為

2π-2arccos

1

8

．

Answer 1

分析：由已知中三棱柱的底面邊長及高，求出棱柱底面外接圓的半徑及球心距，進而求出三棱柱外接球的球半徑，求出球心角，利用弧長公式，即可求得結論．

解答：解：∵正三棱柱的底面邊長AB=3，∴底面所在平面截其外接球所成的圓O′的半徑r=

3

∵正三棱柱的高為2cm，∴球心到圓O′的球心距d=1
根據球心距，截面圓半徑，球半徑構成直角三角形，滿足勾股定理，我們易得球半徑R滿足：R²=r²+d²=4
∴R=2
∴cos∠AOB=

22+22-32

2×2×2

=-

1

8

∴∠AOB=π-arccos

1

8

∴外接球上A、B兩點的球面距離為2（π-arccos

1

8

）=2π-2arccos

1

8

故答案為：2π-2arccos

1

8

．

點評：本題考查的知識點是棱柱的幾何特征及球面距離，根據已知求出已知三棱柱的外接球半徑是解答本題的關鍵，屬于中檔題．