Question

數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a_n是S_n和1的等差中項，等差數(shù)列{b_n}滿足b₁+S₄=0，b₉=a₁．
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（2）若c_n=

1

(bn+16)(bn+18)

，W_n是數(shù)列{c_n}的前n項和，求W_n及取值范圍．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：計算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由等差數(shù)列的性質(zhì)和通項與前n項和的關(guān)系，即可得到數(shù)列{a_n}的通項，再由等差數(shù)列的通項，即可得到數(shù)列{b_n}的通項公式；
（2）求出c_n=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，再由裂項相消求和得到W_n，再由數(shù)列的單調(diào)性，即可得到范圍．

解答： 解：（1）由于a_n是S_n和1的等差中項，則2a_n=1+S_n，①
當(dāng)n=1時，2a₁=1+S₁=1+a₁，解得，a₁=1，
又n＞1時，2a_n-1=1+S_n-1，②
①-②，得，2a_n-2a_n-1=a_n，即有a_n=2a_n-1，
則a_n=2^n-1．S_n=2ⁿ-1．
設(shè)等差數(shù)列{b_n}的公差為d，則由b₁+S₄=0，得到b₁+15=0，即b₁=-15，
又b₉=a₁=1，則-15+8d=1，則d=2，
則b_n=-15+2（n-1）=2n-17；
（2）c_n=

1

(bn+16)(bn+18)

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
W_n=c₁+c₂+…+c_n=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）
=

1

2

（1-

1

2n+1

）=

n

2n+1

，
且W_n＜

1

2

，W_n為遞增數(shù)列，則當(dāng)n=1時，取最小值，且為

1

3

，
則W_n=

n

2n+1

，其取值范圍是[

1

3

，

1

2

）．

點評：本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項和求和公式及運用，考查數(shù)列的求和方法：裂項相消法，考查運算能力，屬于中檔題．