Question

設f（k）是滿足不等式log₂x+log₂（3•2^k-1-x）≥2k-1（k∈N*）的正整數(shù)x的個數(shù)．
（1）求f（k）的解析式；
（2）記S_n=f（1）+f（2）+…+f（n），P_n=n²+n-1（n∈N*）試比較S_n與P_n的大小．

Answer 1

解：（1）∵log₂x+log₂（3•2^k-1-x）≥2k-1
∴，
解得2^k-1≤x≤2^k，∴f（k）=2^k-2^k-1+1=2^k-1+1
（2）∵S_n=f（1）+f（2）+…+f（n）=1+2+2²+…+2^n-1+n=2ⁿ+n-1
∴S_n-P_n=2ⁿ-n²
n=1時，S₁-P₁=2-1=1＞0；n=2時，S₂-P₂=4-4=0
n=3時，S₃-P₃=8-9=-1＜0；n=4時，S₄-P₄=16-16=0
n=5時，S₅-P₅=32-25=7＞0；n=6時，S₆-P₆=64-36=28＞0
猜想，當n≥5時，S_n-P_n＞0
①當n=5時，由上可知S_n-P_n＞0
②假設n=k（k≥5）時，S_k-P_k＞0
當n=k+1時，S_k+1-P_k+1=2^k+1-（k+1）²=2•2^k-k²-2k-12（2^k-k²）+k²-2k-1
=2（S_k-P_k）+k²-2k-1＞k²-2k-1=k（k-2）-1≥5（5-2）-1=14＞0
∴當n=k+1時，S_k+1-P_k+1＞0成立
由①、②可知，對n≥5，n∈N*，S_n-P_n＞0成立即S_n＞P_n成立
由上分析可知，當n=1或n≥5時，S_n＞P_n
當n=2或n=4時，S_n=P_n
當n=3時，S_n＜P_n．
分析：（1）、由log₂x+log₂（3•2^k-1-x）≥2k-1可知，解這個不等式組得到x的取值范圍后，就能求出f（k）的解析式．
（2）、由S_n=f（1）+f（2）+…+f（n）=1+2+2²+…+2^n-1+n=2ⁿ+n-1可知S_n-P_n=2ⁿ-n²．n=1時，S₁-P₁=2-1=1＞0；n=2時，S₂-P₂=4-4=0；n=3時，S₃-P₃=8-9=-1＜0；n=4時，S₄-P₄=16-16=0；n=5時，S₅-P₅=32-25=7＞0；n=6時，S₆-P₆=64-36=28＞0．猜想，當n≥5時，S_n-P_n＞0．然后用數(shù)數(shù)歸納法進行證明．
點評：本題考查對數(shù)函數(shù)的綜合運用和數(shù)學歸納法的證明．解題時要進行合理猜想，并注意數(shù)學歸納法的證明步驟．