Question

【題目】某校從高一年級學生中隨機抽取60名學生，將其期中考試的數(shù)學成績（均為整數(shù)）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到如下頻率分布直方圖．

（1）求分數(shù)在[70，80）內(nèi)的頻率；
（2）根據(jù)頻率分布直方圖，估計該校高一年級學生期中考試數(shù)學成績的平均分；
（3）用分層抽樣的方法在80分以上的學生中抽取一個容量為6的樣本，將該樣本看成一個總體，從中任意選取2人，求其中恰有1人的分數(shù)不低于90分的概率．

Answer 1

【答案】
（1）解：分數(shù)在[70，80）內(nèi)的頻率為：1﹣（0.010+0.015+0.015+0.025+0.005）×10=1﹣0.7=0.3．
（2）解：平均分為： ．
（3）解：由題意，[80，90）分數(shù)段的人數(shù)為：0.25×60=15人；

[90，100]分數(shù)段的人數(shù)為：0.05×60=3人；

∵用分層抽樣的方法在80（分）以上（含80分）的學生中抽取一個容量為6的樣本，

∴[80，90）分數(shù)段抽取5人，分別記為A，B，C，D，E；[90，100]分數(shù)段抽取1人，記為M．

因為從樣本中任取2人，其中恰有1人的分數(shù)不低于90（分），

則另一人的分數(shù)一定是在[80，90）分數(shù)段，所以只需在分數(shù)段[80，90）抽取的5人中確定1人．

設“從樣本中任取2人，其中恰有1人的分數(shù)不低于9（0分）”為事件A，

則基本事件空間包含的基本事件有：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E），（A，M），（B，M），（C，M），（D，M），（E，M）共15種．

事件A包含的基本事件有（A，M），（B，M），（C，M），（D，M），（E，M）5種．

∴恰有1人的分數(shù)不低于9（0分）的概率為

【解析】（1）由題意得分數(shù)在[70，80）內(nèi)的頻率等于1減去得分在[40，70]與[80，100]內(nèi)的概率．（2）平均數(shù)為每個小長方形的面積乘以每個小長方形底邊中點橫坐標的和．（3）由題意，根據(jù)直方圖計算出[80，90）分數(shù)段的人數(shù)為15人；[90，100]分數(shù)段的人數(shù)為3人；由分層抽樣得在[80，90）與[90，100]分數(shù)段抽取人數(shù)分別為5人，1人．因為從樣本中任取2人，其中恰有1人的分數(shù)不低于90（分），則另一人的分數(shù)一定是在[80，90）分數(shù)段，所以只需在分數(shù)段[80，90）抽取的5人中確定1人．再利用古典概型計算出事件發(fā)生的概率即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解頻率分布直方圖的相關知識，掌握頻率分布表和頻率分布直方圖，是對相同數(shù)據(jù)的兩種不同表達方式.用緊湊的表格改變數(shù)據(jù)的排列方式和構成形式，可展示數(shù)據(jù)的分布情況.通過作圖既可以從數(shù)據(jù)中提取信息，又可以利用圖形傳遞信息，以及對平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的理解，了解⑴平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)集中趨勢的量；⑵平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)都有單位；⑶平均數(shù)反映一組數(shù)據(jù)的平均水平，與這組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)都有關系，所以最為重要，應用最廣；⑷中位數(shù)不受個別偏大或偏小數(shù)據(jù)的影響；⑸眾數(shù)與各組數(shù)據(jù)出現(xiàn)的頻數(shù)有關，不受個別數(shù)據(jù)的影響，有時是我們最為關心的數(shù)據(jù)．