（2008•奉賢區(qū)模擬）我們規(guī)定：對(duì)于任意實(shí)數(shù)A，若存在數(shù)列{an}和實(shí)數(shù)x（x≠0），使得A=a1+a2x+a3x2+…+anxn-1，則稱數(shù)A可以表示成x進(jìn)制形式，簡(jiǎn)記為：A=
.
x\～(a1)(a2)(a3)…(an-1)(an)
．如：A=
.
2\～(-1)(3)(-2)(1)
，則表示A是一個(gè)2進(jìn)制形式的數(shù)，且A=-1+3×2+（-2）×22+1×23=5．
（1）已知m=（1-2x）（1+3x2）（其中x≠0），試將m表示成x進(jìn)制的簡(jiǎn)記形式．
（2）若數(shù)列{an}滿足a1=2，ak+1=
1
1-ak
，k∈N*，bn=
.
2\～(a1)(a2)(a3)…(a3n-2)(a3n-1)(a3n)
（n∈N*），是否存在實(shí)常數(shù)p和q，對(duì)于任意的n∈N*，bn=p•8n+q總成立？若存在，求出p和q；若不存在，說明理由．
（3）若常數(shù)t滿足t≠0且t＞-1，dn=
.
t\～(
C
1
n
)(
C
2
n
)(
C
3
n
)…(
C
n-1
n
)(
C
n
n
)
，求
lim
n→∞
dn
dn+1
．
分析：（1）先將m=（1-2x）（1+3x2）展開，再根據(jù)定義，將m表示成x進(jìn)制的簡(jiǎn)記形式．
（2）由題意，知{an}是周期為3的數(shù)列．假設(shè)存在實(shí)常數(shù)p和q，對(duì)于任意的n∈N*，bn=p•8n+q總成立，則由定義可得p=
2
7
，q=-
2
7
．
（3）先求dn=
C
1
n
+
C
2
n
t+
C
3
n
t2+
C
4
n
t3…+
C
n
n
tn-1=
C
1
n
t+
C
2
n
t2+
C
3
n
t3+…+
C
n
n
tn
t
=
[
C
0
n
+
C
1
n
t+
C
2
n
t2+
C
3
n
t3+…+
C
n
n
tn]-1
t
=
(1+t)n-1
t
，再求極限．
解答：解：（1）m=（1-2x）（1+3x2）=1-2x+3x2-6x3（1分）
則m=
.
x\～(1)(-2)(3)(-6)
（3分）
（2）a2=-1，a3=
1
2
，a4=2，a5=-1，a6=
1
2

∵an+1=
1
1-an
∴an+2=
1
1-an+1
=
1
1-
1
1-an
=
1-an
-an

∴an+3=
1
1-an+2
=
1
1+
1-an
an
=an（n∈N*），知{an}是周期為3的數(shù)列     （6分）
假設(shè)存在實(shí)常數(shù)p和q，對(duì)于任意的n∈N*，bn=p•8n+q總成立，則：bn=
.
2\～(a1)(a2)(a3)…(a3n-2)(a3n-1)(a3n)

=[2+(-1)×2+
1
2
×22]+[2×23+(-1)×24+
1
2
×25]+…+[2×23n-3+(-1)×23n-2+
1
2
×23n-1]=[2+(-1)×2+
1
2
×22]×(1+23+26+…+23n-3)=2×
1-8n
1-8
=
2
7
×8n-
2
7

∴p=
2
7
，q=-
2
7
．
即存在實(shí)常數(shù)p=
2
7
，q=-
2
7
，對(duì)于任意的n∈N*，bn=
2
7
•8n-
2
7
總成立    （10分）
（3）dn=
C
1
n
+
C
2
n
t+
C
3
n
t2+
C
4
n
t3…+
C
n
n
tn-1=
C
1
n
t+
C
2
n
t2+
C
3
n
t3+…+
C
n
n
tn
t
=
[
C
0
n
+
C
1
n
t+
C
2
n
t2+
C
3
n
t3+…+
C
n
n
tn]-1
t
=
(1+t)n-1
t
（14分）
∴
lim
n→∞
dn
dn+1
=
lim
n→∞
(1+t)n-1
(1+t)n+1-1
=
1
1+t
|1+t＞1
1|1+t＜1
，即
lim
n→∞
dn
dn+1
=
1
1+t
，t＞0
1，-1＜t＜0
（18分）
點(diǎn)評(píng)：本題以新定義為載體，考查數(shù)列及極限，關(guān)鍵是理解新定義，合理轉(zhuǎn)化，需要計(jì)算細(xì)心．
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64
64
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x2+x-2
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x+y
2
∈D均滿足f(
x+y
2
)≥
1
2
[f(x)+f(y)]，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)等號(hào)成立．
（1）若定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）∈M，試比較f（3）+f（5）與2f（4）大小．
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=-x2，求證：g（x）∈M．
（3）已知函數(shù)f（x）=log2x∈M．試?yán)么私Y(jié)論解決下列問題：若實(shí)數(shù)m、n滿足2m+2n=1，求m+n的最大值．

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.
x\～(a1)(a2)(a3)…(an-1)(an)
．如：A=
.
2\～(-1)(3)(-2)(1)
，則表示A是一個(gè)2進(jìn)制形式的數(shù)，且A=-1+3×2+（-2）×22+1×23=5．
（1）已知m=（1-2x）（1+3x2）（其中x≠0）），試將m表示成x進(jìn)制的簡(jiǎn)記形式．
（2）若數(shù)列{an}滿足a1=2，ak+1=
1
1-ak
，k∈N*，bn=
.
2\～(a1)(a2)(a3)…(a3n-2)(a3n-1)(a3n)
（n∈N*）．求證：bn=
2
7
•8n-
2
7
．
（3）若常數(shù)t滿足t≠0且t＞-1，dn=
.
t\～(
C
1
n
)(
C
2
n
)(
C
3
n
)…(
C
n-1
n
)(
C
n
n
)
，求
lim
n→∞
dn
dn+1
．

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