Question

已知函數(shù)f(x)=sinx(cosx-

3

sinx)．
（I）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（II）將函數(shù)y=sin2x的圖象向左平移a(0＜a＜

π

2

)個(gè)單位，向下平移b個(gè)單位，得到函數(shù)y=f（x）的圖象，求ab的值；
（Ⅲ）求函數(shù)f（x）在[0，

π

2

]上的值域．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)三角函數(shù)的二倍角公式和兩角和與差的正弦公式將函數(shù)化簡為y=Asin（wx+φ）的形式，根據(jù)T=

2π

w

可得答案．
（2）將y=sin2x進(jìn)行平移可得sin2（x+a）-b，然后令sin2(x+a)-b=sin(2x+

π

3

)-

3

2

可解出a，b的值．
（3）先根據(jù)x的范圍求出2x+

π

3

的范圍，再由三角函數(shù)的性質(zhì)可得到答案．

解答：解：（I）f(x)=-

3

sin2x+sinxcosx
=-

3

×

1-cos2x

2

+

1

2

sin2x
=

1

2

sin2x+

3

2

cos2x-

3

2

=sin(2x+

π

3

)-

3

2

．
函數(shù)f（x）的最小正周期是T=

2π

2

=π；
（II）由（I）得，sin2(x+a)-b=sin(2x+

π

3

)-

3

2

，
可知a=

π

6

，b=

3

2

．則ab=

3

12

π．
（Ⅲ）∵0≤x≤

π

2

，∴

π

3

≤2x+

π

3

≤

4π

3

，
∴-

3

2

≤sin(2x+

π

3

)≤1，
∴f（x）的值域?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">[-

3

，1-

3

2

]．

點(diǎn)評：本題主要考查三角函數(shù)的最小正周期、值域的求法和平移變換的問題．一般先將函數(shù)化簡為y=Asin（wx+φ）的形式再解題．