Question

定義在R上的函數f（x）的圖象關于點或中心對稱，對任意的實數x均有且f（-1）=1，f（0）=-2，則f（1）+f（2）+…+f（2009）的值為     ．

Answer 1

【答案】分析：根據題意需要反復給x恰當的值代入，求出函數的周期，再由函數圖象關于點成中心對稱，得到關系式f（+x）=-f（-x），利用條件和給x恰當的值求出函數在一個周期上的函數值，故求出一個周期內的函數值的和，根據函數的周期求式子的值．
解答：解：由f（x+）=-f（x），得f（x+3）=f[（x+）+]=-f（x+）=f（x），則有周期T=3．
又∵f（x）的圖象關于點成中心對稱，即f（+x）=-f（-x），
令x=代入上式，得f（-）=-f（-1），即f（1）=f（-+）=-f（-）=f（-1）=1，
∵f（-1）=1，f（0）=-2，函數的周期是3，
∴f（1+3k）=f（-2）=1，f（2+3k）=f（-1）=1，f（3+3k）=f（0）=-2，其中k是任意整數．
則f（1）+f（2）+…+f（2009）=[f（1）+f（2）+f（3）]+f（2008）+f（2009）
=669×（1+1-2）+f（1）+f（2）=2．
故答案為：2．
點評：本題是一道抽象函數問題，題目的設計“小而巧”，解題的關鍵是巧妙的賦值，利用其奇偶性得到函數的周期性，再利用周期性求函數值．靈活的“賦值法”和反復利用恒等式是解決抽象函數問題的基本方法．