Question

某飛機(jī)制造公司一年中最多可生產(chǎn)某種型號的飛機(jī)100架．已知制造x架該種飛機(jī)的產(chǎn)值函數(shù)為R（x）=3000x-20x²（單位：萬元），成本函數(shù)C（x）=500x+4000（單位：萬元）．利潤是收入與成本之差，又在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，函數(shù)f（x）的邊際利潤函數(shù)Mf（x）定義為：Mf（x）=f（x+1）-f（x）
（1）求利潤函數(shù)P（x）及邊際利潤函數(shù)MP（x）；（利潤=產(chǎn)值-成本）
（2）問該公司的利潤函數(shù)P（x）與邊際利潤函數(shù)MP（x）是否具有相等的最大值？

Answer 1

分析：（1）利用利潤=產(chǎn)值-成本寫出：P（x）及MP（x）的表達(dá)式即可；
（2）由于由（1）得出：P（x）=-20（x-

125

2

）2+74125（x∈N*，且x∈[1，100]）；下面分類討論：當(dāng)x=62或63時(shí)，或當(dāng)x=1時(shí)的函數(shù)值，最后得出利潤函數(shù)與邊際利潤函數(shù)不具有相等的最大值的結(jié)論即可．

解答：解：（1）P（x）=R（x）-C（x）=-20x2+2500x-4000（x∈N*，且x∈[1，100]）（3分）
MP（x）=P（x+1）-P（x）=-40x+2480（x∈N*，且x∈[1，100]）；..（6分）
（2）P（x）=-20（x-

125

2

）2+74125（x∈N*，且x∈[1，100]）；．（8分）
則當(dāng)x=62或63時(shí)，P（x）max=74120（元），（10分）
因?yàn)镸P（x）=-40x+2480為單調(diào)砬函數(shù)，
則當(dāng)x=1時(shí)，MP（x）max=2440元，
故利潤函數(shù)與邊際利潤函數(shù)不具有相等的最大值（12分）

點(diǎn)評：本小題主要考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．解決實(shí)際問題通常有四個(gè)步驟：（1）閱讀理解，認(rèn)真審題；（2）引進(jìn)數(shù)學(xué)符號，建立數(shù)學(xué)模型；（3）利用數(shù)學(xué)的方法，得到數(shù)學(xué)結(jié)果；（4）轉(zhuǎn)譯成具體問題作出解答，其中關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型．