Question

已知，若f（x）=ax²-2x+1在[1，3]上的最大值為M（a），最小值為N（a），已知g（a）=M（a）-N（a）．
（1）求g（a）的函數(shù)表達式．
（2）判斷g（a）在上的單調(diào)性，并證明．
（3）求出函數(shù)y=g（a）在上的值域．

Answer 1

解：（1）函數(shù)f（x）=ax²-2x+1的對稱軸為x=
∵，
∴∈[1，]
∵函數(shù)f（x）=ax²-2x+1開口向上，對稱軸x=∈[1，]
∴g（a）=M（a）-N（a）=f（3）-f（）=9a+-6．
（2）g′（a）=9-
當a∈時，g′（a）=9-＞0
∴g（a）在上單調(diào)遞增
（3）由（2）可知g（a）在上單調(diào)遞增
∴g（a）_min=g（）=，g（a）_max=g（1）=4
則函數(shù)y=g（a）在上的值域為[，4]
分析：（1）先判定二次函數(shù)的對稱軸的范圍，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求出該函數(shù)的最值，從而求出g（a）的函數(shù)表達式．
（2）先求導函數(shù)，然后判定導函數(shù)在上的符號，從而確定函數(shù)的單調(diào)性；
（3）利用（2）的結論可求出函數(shù)的最值，從而得到函數(shù)的值域．
點評：本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，以及利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和值域，同時考查了計算能力，屬于中檔題．