Question

3．已知：向量$\vec a\;，\;\vec b\;，\;\vec c\;，\;\vec d$及實數(shù)x，y滿足|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=1，$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}$+（x²-3）$\overrightarrow$，$\overrightarroway64yua$=（-y）$\overrightarrow{a}$+x$\overrightarrow$．若$\vec a⊥\vec b$，$\vec c⊥\vec d$且|$\overrightarrow{c}$|≤$\sqrt{10}$
（1）求y=f（x）的函數(shù)解析式和定義域
（2）若當$x∈（{1\;，\;\sqrt{6}}）$時，不等式$\frac{f（x）}{x}$≥mx-7恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由向量垂直的性質(zhì)得y=x³-3x，再由|$\overrightarrow{c}$|≤$\sqrt{10}$，得x⁴-6x²≤0，由此能求出y=f（x）的函數(shù)解析式和定義域．
（2）不等式即為x²-3≥mx-7，即m$≤x+\frac{4}{x}$在x∈（1，$\sqrt{6}$）上恒成立，由此能求出實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）∵向量$\vec a\;，\;\vec b\;，\;\vec c\;，\;\vec d$及實數(shù)x，y滿足
$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}$+（x²-3）$\overrightarrow$，$\overrightarrowiwsqe6w$=（-y）$\overrightarrow{a}$+x$\overrightarrow$．$\vec a⊥\vec b$，$\vec c⊥\vec d$，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=0，$\overrightarrow{c}•\overrightarrowwwqao8g=0$，
∴-y${\overrightarrow{a}}^{2}$+x（x²-3）${\overrightarrow}^{2}$=0，
∵|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=1，∴y=x³-3x，
∵|$\overrightarrow{c}$|≤$\sqrt{10}$，∴${\overrightarrow{a}}^{2}+（{x}^{2}-3）{\overrightarrow}^{2}$≤10，
∴x⁴-6x²≤0，∴-$\sqrt{6}≤x≤\sqrt{6}$，
∴f（x）=x³-3x，x∈[-$\sqrt{6}，\sqrt{6}$]．
（2）不等式即為x²-3≥mx-7，
即m$≤x+\frac{4}{x}$在x∈（1，$\sqrt{6}$）上恒成立，
故（x+$\frac{4}{x}$）_min=4，∴m≤4，
∴實數(shù)m的取值范圍是（-∞，4]．

點評 本題考查平面向量運算、向量垂直的性質(zhì)等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．