Question

已知函數(shù)f（x）的定義域D=（-∞，0）∪（0，+∞），且對于任意x₁，x₂∈D，均有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），且當(dāng)x＞1時，f（x）＞0；
（1）求f（1）與f（-1）的值；　　　　　　
（2）判斷函數(shù)的奇偶性并證明；
（3）求證：f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
（4）若f（4）=1，解不等式f（3x+1）≤2．

Answer 1

解：（1）令x₁=x₂=1，代入f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）可得f（1）=0；
令x₁=x₂=-1，則有f[（-1）×（-1）]=f（-1）+f（-1）-f（1）=0，解得：f（-1）=0．
（2）令x₁=x，x₂=-1，則有f（-x）=f（-1）+f（x）=f（x），即f（-x）=f（x），
所以函數(shù)f（x）是偶函數(shù)．
（3）設(shè)x₁，x₂∈（0，+∞），并且x₁＜x₂，則有，f（）＞0，
所以f（x₂）==，
所以函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．
（4）由題意可得：f（16）=f（4×4）=2f（4）=2，
所以由f（3x+1）≤2可得：f（3x+1）≤f（16），
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）為偶函數(shù)，
所以有f（-x）=f（x）=f（|x|），即f（|3x+1|）≤f（16），
又因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
所以|3x+1|≤16，并且3x+1≠0，
解得：．
分析：（1）令x₁=x₂=1，代入f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）可得f（1）=0；再令x₁=x₂=-1，代入題中的條件可得f（-1）=0．
（2）令x₁=x，x₂=-1，并且結(jié)合（1）中的結(jié)論可得答案．
（3）設(shè)x₁，x₂∈（0，+∞），并且x₁＜x₂，結(jié)合題中條件可得：f（）＞0，再由f（x₂）=可得答案．
（4）由題意可得：f（16）=2，則有：f（3x+1）≤f（16），再根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)可得：f（|3x+1|）≤f（16），
進(jìn)而結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得答案．
點(diǎn)評：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握抽象函數(shù)的性質(zhì)，如求函數(shù)值、單調(diào)性、奇偶性等性質(zhì)，以及利用有關(guān)的性質(zhì)解不等式，證明或者判斷抽象函數(shù)的奇偶性或者求函數(shù)值時一般利用賦值的方法解決，此題屬于中檔題，高考考查的熱點(diǎn)之一．