如圖所示,若D是△ABC內(nèi)的一點,且AB2-AC2=DB2-DC2.求證:AD⊥BC.
分析:
AB
=
a
,
AC
=
b
AD
=
e
,
DB
=
c
,
DC
=
d
,將
a
=
e
+
c
、
b
=
e
+
d
代入
a
2-
b
2的式子,化簡整理
a
2-
b
2=
c
2+2
e
c
-2
e
d
-
d
2,結(jié)合題意
a
2-
b
2=
c
2-
d
2化簡,可得
e
•(
c
-
d
)=0,再結(jié)合向量的加減法法則得到
AD
BC
=0,由此結(jié)合數(shù)量積的性質(zhì)即可得到AD⊥BC.
解答:解:設
AB
=
a
,
AC
=
b
,
AD
=
e
DB
=
c
,
DC
=
d
,
a
=
e
+
c
,
b
=
e
+
d

a
2-
b
2=(
e
+
c
2-(
e
+
d
2
=
c
2+2
e
c
-2
e
d
-
d
2
∵由已知AB2-AC2=DB2-DC2,得
a
2-
b
2=
c
2-
d
2,
c
2+2
e
c
-2
e
d
-
d
2=
c
2-
d
2,即
e
•(
c
-
d
)=0.
BC
=
BD
+
DC
=
d
-
c
,∴
AD
BC
=
e
•(
d
-
c
)=0,
因此,可得
AD
BC
,即AD⊥BC.
點評:本題給出三角形ABC內(nèi)滿足平方關系的點D,求證AD⊥BC.著重考查了平面向量的加減法則、向量的數(shù)量積及其運算性質(zhì)等知識,屬于中檔題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)的定義域為[-2,+∞),部分對應值如下表,
 x -2    0 4
f(x)   1 -1 1
f′(x)為f(x)的導函數(shù),函數(shù)y=f′(x)的圖象如圖所示:若兩正數(shù)a,b滿足f(2a+b)<1,則
b+3
a+3
的取值范圍是( 。
A、(
6
7
4
3
)
B、(
3
5
,
7
3
)
C、(
2
3
,
6
5
)
D、(-
1
3
,3)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(4)=1.f′(x)為f(x)的導函數(shù),已知函數(shù)y=f′(x)的圖象如圖所示.若兩正數(shù)a,b滿足f(2a+b)<1,則
b+2
a+2
的取值范圍是( 。
A、(
1
3
,
1
2
)
B、(-∞,
1
2
)∪(3,+∞)
C、(
1
2
,3)
D、(-∞,-3)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知f(x)是定義域為R的奇函數(shù),f(-4)=-1,f(x)的導函數(shù)f′(x)的圖象如圖所示.若兩正數(shù)a,b滿足f(a+2b)<1,則
a+2
b+2
的取值范圍是( 。
A、(
1
3
,2)
B、(
1
2
,3)
C、(-1,10)
D、(-∞,-1)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)的定義域為[-2,+∞),部分對應值如下表,
x -2 0 4
f(x) 1 -1 1
f'(x)為f(x)的導函數(shù),函數(shù)y=f'(x)的圖象如圖所示,若兩正數(shù)a,b滿足f(2a+b)<1,則
b+3
a+3
的取值范圍是( 。
A、(
3
5
,
7
3
)
B、(
3
2
,
7
3
)
C、(
3
7
3
5
)
D、(
2
3
3
7
)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知f(x)是定義域為R的奇函數(shù),f(-4)=-2,f(x)的導函數(shù)f′(x)的圖象如圖所示,若兩正數(shù)a,b滿足f(a+2b)<2,則
a+4
b+4
的取值范圍是( 。

查看答案和解析>>

同步練習冊答案