Question

5．如圖1，在矩形ABCD中，AB=$\sqrt{3}$，BC=4，E是邊AD上一點(diǎn)，且AE=3，把△ABE沿BE翻折，使得點(diǎn)A到A′，滿足平面A′BE與平面BCDE垂直（如圖2），連結(jié)A′C，A′D．
（1）求四棱錐A′-BCDE的體積；
（2）在棱A′C是否存在點(diǎn)R，使得DR∥平面A′BE？若存在，請(qǐng)求出$\frac{A′R}{CR}$的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （I）過A′作A′F⊥BE，利用等積法求出A′F，則A′F為棱錐的高，代入棱錐的體積公式計(jì)算；
（II）延長(zhǎng)BE，CD交于點(diǎn)P，過D作A′P的平行線交A′C于R，則DR∥平面A′BE．利用平行線等分線段成比例定理得出$\frac{A′R}{CR}$的值．

解答 解：（Ⅰ）過A′作A′F⊥BE于F．
∵平面A′BE⊥平面BCDE，平面A′BE∩平面BCDE=BE，A′F?平面A′BE．
∴A′F⊥平面BCDE．
∵∠BA′E=90°，$A'B=\sqrt{3}，A'E=3$，
∴BE=$\sqrt{A′{B}^{2}+A′{E}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，∴A′F=$\frac{A′B•A′E}{BE}$=$\frac{3}{2}$．
∵${S_{梯形BCDE}}=\frac{1}{2}（BC+DE）×CD=\frac{{5\sqrt{3}}}{2}$
∴四棱錐A'-BCDE的體積$V=\frac{1}{3}×\frac{{5\sqrt{3}}}{2}×\frac{3}{2}=\frac{{5\sqrt{3}}}{4}$．
（Ⅱ）延長(zhǎng)過BE，CD交于P，連結(jié)A′P，過D作DR∥A′P交A′C于R，
∵DR?平面A′BE，A′P?平面A′BE，
∴DR∥平面A′BE，
∵$DE\underline{\underline{∥}}\frac{1}{4}BC$，∴$\frac{PD}{PC}=\frac{DE}{BC}=\frac{1}{4}$，
∴$\frac{PD}{DC}=\frac{1}{3}$，∴$\frac{A'R}{RC}=\frac{1}{3}$，
∴在棱A′C存在點(diǎn)R，使得DR∥平面A′BE，
這時(shí)$\frac{A'R}{RC}=\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面平行的判定，棱錐的體積計(jì)算，屬于中檔題．