Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-a（x-1），g（x）=e^x．
（Ⅰ）若a=2，設h（x）=f（x+1）+g（x），當x≥0時，求h（x）的最小值；
（Ⅱ）過原點分別作函數(shù)f（x）與g（x）的切線，且兩切線的斜率互為倒數(shù)，證明：a=0或1＜a＜2．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：綜合題,導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）求導數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求h（x）的最小值；
（Ⅱ）利用兩切線的斜率互為倒數(shù)，可得

1

x2

-a=

lnx2-a(x2-1)

x2

，從而可得e^a-ae-1=0，令F（a）=e^a-ae-1，確定其單調(diào)性，即可得出結論．

解答： （Ⅰ）解：h'（x）=ex+

1

x+1

-2，…（1分）
令p（x）=ex+

1

x+1

-2，
因為x≥0，
所以p′(x)=ex-

1

(x+1)2

=

(x+1)2ex-1

(x+1)2

≥0，…（2分）
所以p（x），即h'（x））在[0，+∞）上遞增，
所以h'（x）≥h'（0）=0，所以h（x）在[0，+∞）上遞增，…（4分）
所以h（x）_min=h（0）=1…（5分）
（2）證明：設g（x）的切點（x₁，y₁），f（x）的切點（x₂，y₂），
由

g′(x1)=ex1= y1 x1 y1=ex1

，解得

x1=1 y1=e k=e

，…（7分）
所以

f′(x2)= 1 x2 -a= 1 e = y2 x2 y2=lnx2-a(x2-1)

，
所以

1

x2

-a=

lnx2-a(x2-1)

x2

，
所以lnx₂=1-a，
所以x2=e1-a代入

1

x2

-a=

1

e

得e^a-ae-1=0，
令F（a）=e^a-ae-1，則F'（a）=e^a-e，
所以F（a）在（-∞，1）遞減，在（1，+∞）上遞增…（9分）
當a∈（-∞，1）時，因為F（0）=0，所以a=0…（10分）
當a∈（1，+∞）時，F(xiàn)（1）=-1＜0，F(xiàn)（2）=e²-2e-1＞0，所以1＜a＜2，
綜上a=0或1＜a＜2…（12分）

點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查導數(shù)的幾何意義，正確構建函數(shù)是關鍵．