如圖組合體由直三棱柱ABC-A1B1C1與正三棱錐B-ACD組成,其中,AB⊥BC.它的正視圖、俯視圖、從左向右的側(cè)視圖的面積分別為2
2
+1,2
2
+1,1.
(Ⅰ)求直線CA1與平面ACD所成角的正弦;
(Ⅱ)在線段AC1上是否存在點(diǎn)P,使B1P⊥平面ACD.若存在,確定點(diǎn)P的位置;若不存在,說明理由.
分析:(Ⅰ) 根據(jù)正視圖、俯視圖、從左向右的側(cè)視圖的面積分別為2
2
+1,2
2
+1,1,從而可確定BA,BB1的長(zhǎng).以點(diǎn)B為原點(diǎn),分別以BC、BB1、BA為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面ACD的法向量,進(jìn)而可利用夾角公式求出直線CA1與平面ACD所成角的正弦;
(Ⅱ)假設(shè)存在
AP
=m
AC1
=(
2
m,2m,-
2
m)
,利用
B1P
與平面ACD的法向量,得方程即可求解.
解答:解:(1)設(shè)BA=BC=BD=a,BB1=b
由條件
ab+
1
2
a2=2
2
+1
1
2
a2=1
a=
2
b=2
.(3分)

以點(diǎn)B為原點(diǎn),分別以BC、BB1、BA為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則
A(0,0,
2
),C(
2
,0,0),D(0,-
2
,0),B1(0,2,0),C1(
2
,2,0),A1(0,2,
2
)(5分)

△ACD的重心G(
2
3
,-
2
3
2
3
)∴
a
=
BG
=(
2
3
,-
2
3
,
2
3
)為平面ACD的法向量.(7分)

CA1
=(-
2
,2,
2
),則cos?
a
CA1
>=
-
2
2
3
2
2
6
3
=
6
6
(9分)

所求角的正弦值為
6
6
.(10分)

(2)令
AP
=m
AC1
=(
2
m,2m,-
2
m)(11分)

B1P
=
B1A
+
AP
=(
2
m,2m-2,
2
-
2
m)=λ
a

2
m=
2
3
λ
2m-2=-
2
3
λ
2
-
2
m=
2
3
λ
∴無解(14分)

∴不存在滿足條件的點(diǎn)P.
點(diǎn)評(píng):本題以組合體為載體,考查線面角,考查線面存在,關(guān)鍵是構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系.
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如圖所示,放置在水平面上的組合體由直三棱柱ABC-A1B1C1與正三棱錐B-ACD組成,其中,AB⊥BC,AB=
2
,BB1=2.
(1)求直線CA1與平面ACD所成角的正弦值;
(2)在線段AC1上是否存在點(diǎn)P,使B1P⊥平面ACD?若存在,確定點(diǎn)P的位置;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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如圖組合體由直三棱柱ABC-A1B1C1與正三棱錐B-ACD組成,其中,AB⊥BC.它的正視圖、俯視圖、從左向右的側(cè)視圖的面積分別為+1,+1,1.
(Ⅰ)求直線CA1與平面ACD所成角的正弦;
(Ⅱ)在線段AC1上是否存在點(diǎn)P,使B1P⊥平面ACD.若存在,確定點(diǎn)P的位置;若不存在,說明理由.

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如圖所示,放置在水平面上的組合體由直三棱柱ABC-A1B1C1與正三棱錐B-ACD組成,其中,AB⊥BC,AB=,BB1=2.
(1)求直線CA1與平面ACD所成角的正弦值;
(2)在線段AC1上是否存在點(diǎn)P,使B1P⊥平面ACD?若存在,確定點(diǎn)P的位置;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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